Isomorfismo di gruppi tra $R$ e $R\times R$

[Lorenzo Pantieri]

Mi scuso per la domanda banale. Allora, naturalmente $R$ e $R\times R$ non sono isomorfi come anelli (il primo è un campo, il secondo non è neppure un dominio). Lo sono come gruppi additivi? Ho l'impressione di no, ma non riesco a dimostrarlo!

Grazie anticipate,
L.

[rubik2]

"Thomas":si proponevo di utilizzare l'ipotesi del continuo per dimostrare che $|I\times{1,2}|=|I|$ (volendo basta dimostrare che $|XxX|=|X|$ vale per sole due cardinalità per quanto avete detto)... voi avete citato l'assioma della scelta ma la dimostrazione non l'avete mica fatta e non mi sembrava evidente ...

Hai ragione che non è evidente, però visto che abbiamo usato l'assioma della scelta per l'esistenza della base conviene usarlo anche per la cardinalità del prodotto di due insiemi infiniti visto che l'ipotesi del continuo è indecidibile in ZF.

Io ho delle dispense scritte dal prof quindi non ho riferimenti per le dimostrazioni.

[ViciousGoblin]

Ho dato un'occhiata a quelle dispense e la dim. del fatto che $I\times{0,1}$ e' equipotente a $I$ e' un po' piu' semplice di quella del fatto che
$I\times I$ e' equipotenete a $I$.
Comunque passa per il fatto che un qualunque insieme infinito $I$ ammette una partizione di insiemi numerabili $I=\bigcup_{j\in J}U_j$ , $U_j$ numerabili e tra loro disgiunti
(per dimostralo si usa il Lemma di Zorn, ovviamente $J$ ha cardinalita' grossa, la stessa di $I$ se $I$ e' piu' che numerabile).
Se si sa questo allora e' facile vedere che per ogni $j$ l'insieme $U_j\times{0,1}$ e' equipotenete a $U_j$, da cui e' facile passare a tutto $I$.

[Lorenzo Pantieri]

"Lorenzo Pantieri":Mi scuso per la domanda banale.

Visto che in questa discussione sono stati menzionati (addirittura) l'ipotesi del continuo, l'assioma di scelta e il lemma di Zorn, forse la domanda non era così banale...

Comunque continuo a capirci poco. Mi piacerebbe capire se $R$ e $R\times R$ sono isomorfi come gruppi additivi o no. Se lo sono, mi piacerebbe vedere almeno un isomorfismo. Se non lo sono, mi piacerebbe vedere una dimostrazione che usi solo i concetti di gruppo e di morfismo tra gruppi.

Magari chiedo troppo!

Certo, vedere che $Z$ e $Z\times Z$ non sono isomorfi come gruppi additivi è semplicissimo. Quasi altrettanto semplice è provare che $Q$ e $Q\times Q$ non sono isomorfi come gruppi additivi (l'idea che ho riportato nel mio secondo intervento funziona, in questo caso). Con $R$ la cosa pare più difficile.

Ciao,
L.

[mistake89]

"Lorenzo Pantieri":

Certo, vedere che $Z$ e $Z\times Z$ non sono isomorfi come gruppi additivi è semplicissimo. Quasi altrettanto semplice è provare che $Q$ e $Q\times Q$ non sono isomorfi come gruppi additivi
L.

Quest'anno ho dato algebra1, dovrei essere in grado con quello che so di dimostrare che $Z$ e $ZxZ$ non sono isomorfi come gruppi additivi? Perchè sto incontrando delle difficoltà! (magari è legato al fatto che da febbraio non faccio più algebra )

[Martino]

"Lorenzo Pantieri":Mi piacerebbe capire se $R$ e $R\times R$ sono isomorfi come gruppi additivi o no. Se lo sono, mi piacerebbe vedere almeno un isomorfismo. Se non lo sono, mi piacerebbe vedere una dimostrazione che usi solo i concetti di gruppo e di morfismo tra gruppi.

Non credo sia possibile trovare una dimostrazione prettamente algebrica perché la definizione di $RR$ non è "algebrica" (si usano le classi contigue e via dicendo). Fare la dimostrazione per $ZZ$ e per $QQ$ è agevole proprio perché $ZZ$ e $QQ$ sono definiti in modo algebrico.

"mistake89":dovrei essere in grado con quello che so di dimostrare che e non sono isomorfi come gruppi additivi? Perchè sto incontrando delle difficoltà!

Poniti queste domande: $ZZ$ è ciclico? $ZZ xx ZZ$ è ciclico?

[mistake89]

$Z$ è ciclico infatti possiamo considerarlo generato da $<1>$
mentre se su $ZxZ$ consideriamo l'insieme generato da $< (1,1) >$ questo è ${ a(1,1) | a in Z }$ che ovviamente è diverso da $ZxZ$ e per questo motivo non possono essere isomorfi?

[Lorenzo Pantieri]

"mistake89":$Z$ è ciclico infatti possiamo considerarlo generato da $<1>$
mentre se su $ZxZ$ consideriamo l'insieme generato da $< (1,1) >$ questo è ${ a(1,1) | a in Z }$ che ovviamente è diverso da $ZxZ$ e per questo motivo non possono essere isomorfi?

Non proprio. per provare chge $Z\times Z$ non è ciclico devi far vedere che non può essere generato da alcun elemento (non solo da $(1,1)$. Non è difficile. Considera il sottogruppo ciclico generato da una coppia qualsiasi di interi. Contiene $(0,1)$? Contiene anche $(1,0)$?

Ciao,
L.

[mistake89]

sì hai ragione... lo dovrei fare considerando la generica coppia $(a,b)$; se li considero entrambi non nulli (altrimenti le uniche coppie che si possono ottenere sono $ ( 0,0)$ nel caso $a=b=0$ oppure $(a,0)$ se $b=0$ e viceversa) non v'è più alcuna possibilità di ottenere la coppia $(a,0)$ e quindi in ogni caso qualsiasi sia la scelta di $a$ e $b$; $$ è sempre diverso da $ZxZ$

mi sto avvicinando?

[ViciousGoblin]

"Lorenzo Pantieri":[quote="Lorenzo Pantieri"]Mi scuso per la domanda banale.

Visto che in questa discussione sono stati menzionati (addirittura) l'ipotesi del continuo, l'assioma di scelta e il lemma di Zorn, forse la domanda non era così banale...

Comunque continuo a capirci poco. Mi piacerebbe capire se $R$ e $R\times R$ sono isomorfi come gruppi additivi o no. Se lo sono, mi piacerebbe vedere almeno un isomorfismo. Se non lo sono, mi piacerebbe vedere una dimostrazione che usi solo i concetti di gruppo e di morfismo tra gruppi.

Magari chiedo troppo!

Certo, vedere che $Z$ e $Z\times Z$ non sono isomorfi come gruppi additivi è semplicissimo. Quasi altrettanto semplice è provare che $Q$ e $Q\times Q$ non sono isomorfi come gruppi additivi (l'idea che ho riportato nel mio secondo intervento funziona, in questo caso). Con $R$ la cosa pare più difficile.

Ciao,
L.[/quote]

Concordo che la domanda non era banale.

Quando scrivi che con $RR$ la cosa pare piu' difficile mi viene da rispondere che non c'e' da stupirsi - dato che e' falso.

Puo' essere che io abbia sbagliato, ma un isomorfismo, mi pareva di averlo esibito e casomai toccherebbe a a te l'onere della confutazione.

Comunque ti riporto i passi della mia argomentazione in modo che forse puoi individuare i punti che non ti convincono

1) Esiste una base per $RR$ come spazio vettoriale su $QQ$ (per questo serve l'assioma della scelta).
Cio' significa che esiste un insieme $(\phi_i)_{i\in I}$ tale che ogni numero reale $x$ si scrive in maniera unica
come $x=\sum_{i\in I}q_i\phi_i$ per $q_i\in QQ$ e $q_i=0$ tranne un numero finito di indici.

2) L'insieme $I$ e' infinito (altrimenti $RR$ sarebbe numerabile); si puo' vedere che $I$ e' piu' che numerabile
ma questo mi pare che non serva.

3) Per una proprieta' nota degli insiemi infiniti $I$ e' equipotente a ${1,2}\times I$. Dunque esiste una
bigezione $h:I\to {1,2}\times I$

4) Se poniamo $\Phi_{1,i}:=(\phi_i,0)$ e $\Phi_{2,i}:=(0,\phi_i)$ allora $(\Phi_{j,i})_{j\in{1,2}, i\in I}$ e'
una base per $RR\times RR$: dato $(x,y)$ si ha $x=\sum_{i\in I}q_{1,i}\phi_i$ e $y=\sum_{i\in I}q_{2,i}\phi_i$
per opportuni $q_{j,i}$, $j\in {1,2}$, $i\in I$, nulli eccetto un numero finito di indici; allora
$(x,y)=\sum_{j\in{1,2},i\in I}q_{j,i}\Phi_{j,i}$

5) Costruiamo un isomorfismo tra $RR$ e $RR\times RR$ (come spazi vettoriali su $QQ$) mandando ogni $\phi_i$
in $\Phi_{h(i)}$: sara' allora
$L(\sum_{i\in I}q_i\phi_i):=\sum_{i\in I}q_i\Phi_{h(i)}$
Dato che $h$ e' una bigezione $L$ e' un isomorfismo - permettimi di non scrivere la dim. di questo punto,
che e' abbastanza standard.
In particolare $L$ e' un isomorfismo tra i gruppi additivi.