Isomorfismo di Frobenius
Ciao a tutti,
sto preparando un esame di algebra superiore e si enuncia il seguente teorema:
se A è un anello integro e finito è un campo. Cioè (x+y)^n=(x^n)+(y^n)
Dice la dimostrazione è banale (
) poiche l'applicazione x ---- > x^n è l'isomorfismo di Frobenius.
Qualcuno saprebbe spiegarmi?
Ho cercato su tutti i libri di algebra che ho, su internet ma non capisco cosa c'entri il fatto che la mappa è l'isomorfismo di Frobenius con la proprietà dell'anello di essere chiuso.
Grazie
sto preparando un esame di algebra superiore e si enuncia il seguente teorema:
se A è un anello integro e finito è un campo. Cioè (x+y)^n=(x^n)+(y^n)
Dice la dimostrazione è banale (
) poiche l'applicazione x ---- > x^n è l'isomorfismo di Frobenius.Qualcuno saprebbe spiegarmi?
Ho cercato su tutti i libri di algebra che ho, su internet ma non capisco cosa c'entri il fatto che la mappa è l'isomorfismo di Frobenius con la proprietà dell'anello di essere chiuso.
Grazie
Risposte
Questo è il mio secondo post!
Francamente non sono in grado di darti una risposta precisa, ma qualche suggerimento (non necessariamente giusto o che forse avrai già notato).
La caratteristica di un anello integro (io lo chiamo dominio) finito è quello di essere un numero primo p.
Vediamo la formula (x+y)^p=(x^p)+(y^p). Usiamo il teorema del binomio di Newton e poi rimangono solo i due addendi a destra perchè tutti gli altri sono del tipo p moltiplicato per qualcosa che sono tutti 0 proprio per il fatto che la caratteristica è p. La formula che dici forse è quella, ma non ricordo molto dell'omomorfismo di Frobenius...
Comunque, spero di aver contribuito a cominciare a "snebbiare" un po' la tua mente sull'argomento...
Lascio ai più esperti (e con maggiore memoria...) risposte più autorevoli... Ciao!
Francamente non sono in grado di darti una risposta precisa, ma qualche suggerimento (non necessariamente giusto o che forse avrai già notato).
La caratteristica di un anello integro (io lo chiamo dominio) finito è quello di essere un numero primo p.
Vediamo la formula (x+y)^p=(x^p)+(y^p). Usiamo il teorema del binomio di Newton e poi rimangono solo i due addendi a destra perchè tutti gli altri sono del tipo p moltiplicato per qualcosa che sono tutti 0 proprio per il fatto che la caratteristica è p. La formula che dici forse è quella, ma non ricordo molto dell'omomorfismo di Frobenius...
Comunque, spero di aver contribuito a cominciare a "snebbiare" un po' la tua mente sull'argomento...
Lascio ai più esperti (e con maggiore memoria...) risposte più autorevoli... Ciao!
Ti ringrazio della risposta.
Infatti io avrei sfruttato il fatto che la caratteristica è un numero primo, piuttosto che l'isomorfismo di Frobenius (è un omomorfismo come dici tu, però su anelli integri è biunivoco).
Lascerei perdere quindi Frobenius e lo giustificherei con la caratteristica.
Infatti io avrei sfruttato il fatto che la caratteristica è un numero primo, piuttosto che l'isomorfismo di Frobenius (è un omomorfismo come dici tu, però su anelli integri è biunivoco).
Lascerei perdere quindi Frobenius e lo giustificherei con la caratteristica.
Una dimostrazione possiblie del fatto che ogni dominio d'integrità $D$ finito è un campo è la seguente:
fissiamo $a\in D$ diverso da zero e consideriamo: $f: D -> D$ definita da: $f(x) = a\cdot x \qquad\forall x\in D$. Poichè $D$ è un dominio risulta che:
$a\cdot x = a\cdot y \qquad \Leftarrow\Rightarrow $
$a\cdot (x - y) = 0 \qquad \Leftarrow\Rightarrow $
$x = y$ . Dunque $f$ è iniettiva; ma poichè $D$ è finito risulta che $f$ è necessariamente anche suriettiva e quindi esiste $b\in D$ tale che: $f(b) =1$ cioè: $a\cdot b = 1$. Quindi $a$ è invertibile.
fissiamo $a\in D$ diverso da zero e consideriamo: $f: D -> D$ definita da: $f(x) = a\cdot x \qquad\forall x\in D$. Poichè $D$ è un dominio risulta che:
$a\cdot x = a\cdot y \qquad \Leftarrow\Rightarrow $
$a\cdot (x - y) = 0 \qquad \Leftarrow\Rightarrow $
$x = y$ . Dunque $f$ è iniettiva; ma poichè $D$ è finito risulta che $f$ è necessariamente anche suriettiva e quindi esiste $b\in D$ tale che: $f(b) =1$ cioè: $a\cdot b = 1$. Quindi $a$ è invertibile.
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