Isomorfismo di campi differenziali
Buongiorno a tutti!
Ho un problema che forse è banalissimo ma che non riesco a risolvere. Sia $K$ un campo nel senso usuale dell'algebra, dotato di una derivata, cioè una funzione $':K\toK$ tale che
$$(a+b)'=a'+b',\qquad (ab)'=a'b+ab'$$ per ogni $a,b\inK$. Sia $L\supseteq K$ un'estensione di $K$ e siano $\alpha$ e $\beta$ in $L$ due elementi algebrici su $K$, con lo stesso polinomio minimo $P\in K[x]$. Denoto $K[\alpha]$ l'immagine dell'omomorfismo di sostituzione $$\phi_\alpha:K[x]\to L,\qquad f\mapsto f(\alpha)$$ e analogamente per $K[\beta]$. Per il primo teorema di isomorfismo ho $$K[\alpha]\simeq K[x]/(P)\simeq K[\beta],$$ dove l'isomorfismo tra $K[\alpha]$ e $K[\beta]$, esplicitato, è
$$\pi:K[\alpha]\to K[\beta],\qquad f(\alpha)\to f(\beta).$$
Ora, quello che devo dimostrare è che $\pi$ è un'isomorfismo di campi differenziali, cioè è tale che $$(\pi(a))'=\pi(a')$$ per ogni $a\in K[\alpha]$. Non so se valga in generale, perché in realtà io sono in ipotesi più ristrette: il campo $K$ che considero è effettivamente un sottocampo del campo differenziale $\mathbb C(X)$ delle funzioni razionali, e la derivata è quella classica dell'analisi.
Per il momento sono arrivato a capire che per dimostrare l'uguaglianza $\pi(a)'=\pi(a')$ per ogni $a$ è sufficiente dimostrare che $\pi(f')=g'$, ma non ho capito come fare questo passaggio.
Grazie mille per l'aiuto, in ogni caso!
Ho un problema che forse è banalissimo ma che non riesco a risolvere. Sia $K$ un campo nel senso usuale dell'algebra, dotato di una derivata, cioè una funzione $':K\toK$ tale che
$$(a+b)'=a'+b',\qquad (ab)'=a'b+ab'$$ per ogni $a,b\inK$. Sia $L\supseteq K$ un'estensione di $K$ e siano $\alpha$ e $\beta$ in $L$ due elementi algebrici su $K$, con lo stesso polinomio minimo $P\in K[x]$. Denoto $K[\alpha]$ l'immagine dell'omomorfismo di sostituzione $$\phi_\alpha:K[x]\to L,\qquad f\mapsto f(\alpha)$$ e analogamente per $K[\beta]$. Per il primo teorema di isomorfismo ho $$K[\alpha]\simeq K[x]/(P)\simeq K[\beta],$$ dove l'isomorfismo tra $K[\alpha]$ e $K[\beta]$, esplicitato, è
$$\pi:K[\alpha]\to K[\beta],\qquad f(\alpha)\to f(\beta).$$
Ora, quello che devo dimostrare è che $\pi$ è un'isomorfismo di campi differenziali, cioè è tale che $$(\pi(a))'=\pi(a')$$ per ogni $a\in K[\alpha]$. Non so se valga in generale, perché in realtà io sono in ipotesi più ristrette: il campo $K$ che considero è effettivamente un sottocampo del campo differenziale $\mathbb C(X)$ delle funzioni razionali, e la derivata è quella classica dell'analisi.
Per il momento sono arrivato a capire che per dimostrare l'uguaglianza $\pi(a)'=\pi(a')$ per ogni $a$ è sufficiente dimostrare che $\pi(f')=g'$, ma non ho capito come fare questo passaggio.
Grazie mille per l'aiuto, in ogni caso!
Risposte
Mi permetto di consigliarti un cambio di notazione: usa \(\displaystyle K(\alpha)\) invece di \(\displaystyle K[\alpha]\); perché quest'ultimo si usa per indicare i polinomi a coefficienti nel campo \(\displaystyle K\) e di indeterminata \(\displaystyle\alpha\).
Dato che, implicitamente, \(\displaystyle\alpha\) e \(\displaystyle\beta\) sono elementi di \(\displaystyle L\) algebrici su \(\displaystyle K\), si ha che:
\[
\forall a\in\ K(\alpha),\,\exists c_0,\dots,c_{n-1}\in K\,\mid a=c_0+c_1\alpha+c_{n-1}\alpha^{n-1}+\alpha^n
\]
quindi:
\[
\pi(a)=\dots=c_0+c_1\pi(\alpha)+c_{n-1}\pi(\alpha)^{n-1}+\pi(\alpha)^n
\]
e da ciò dovresti concludere da solo; oppure sbaglio?
Dato che, implicitamente, \(\displaystyle\alpha\) e \(\displaystyle\beta\) sono elementi di \(\displaystyle L\) algebrici su \(\displaystyle K\), si ha che:
\[
\forall a\in\ K(\alpha),\,\exists c_0,\dots,c_{n-1}\in K\,\mid a=c_0+c_1\alpha+c_{n-1}\alpha^{n-1}+\alpha^n
\]
quindi:
\[
\pi(a)=\dots=c_0+c_1\pi(\alpha)+c_{n-1}\pi(\alpha)^{n-1}+\pi(\alpha)^n
\]
e da ciò dovresti concludere da solo; oppure sbaglio?
Scusa Trilogy una domanda: se la derivata è definita solo su $K$ come fai a fare questo?
A priori $a$ non appartiene a $K$ quindi non puoi fare $a'$.
Stando alle tue definizioni.
"Trilogy":
$$(\pi(a))'=\pi(a')$$ per ogni $a\in K[\alpha]$.
A priori $a$ non appartiene a $K$ quindi non puoi fare $a'$.
Stando alle tue definizioni.
"Martino":
Scusa Trilogy una domanda: se la derivata è definita solo su $K$ come fai a fare questo?
[quote="Trilogy"]$$(\pi(a))'=\pi(a')$$ per ogni $a\in K[\alpha]$.
A priori $a$ non appartiene a $K$ quindi non puoi fare $a'$.
Stando alle tue definizioni.[/quote]
Hai ragione, Martino, grazie. Ho provato a scrivere il caso generale, ma mi sono accorto che ho perso troppe cose per strada. Provo a scrivere meglio.
Sto leggendo un articolo (https://www.math.uzh.ch/fileadmin/user/delellis/publikation/Liouville_finale.pdf) sul teorema di Liouville che caratterizza le funzioni le cui primitive si possono esprimere in termini di funzioni elementari.
Il campo $K$ che considero è un campo di funzioni di variabile reale a valori complessi, definite su un intervallo $I$ (ma ciascuna funzione può essere non definita su un sottoinsieme di punti isolati di $I$, sottoinsieme dipendente dalla funzione) ottenute come restrizione a $I$ di funzioni che sono meromorfe in un intorno complesso di $I$. La derivata è quella solita dell'analisi. Se si parte da un campo come sopra e lo si estende algebricamente (il caso che mi interessa), o in due particolari casi trascendentalmente, si può estendere la derivata solita all'estensione ottenuta senza problemi.
Venendo al suggerimento di j18eos: grazie mille, ho provato questa strada prima di scrivere sul forum ma non ne sono uscito. Siano $\alpha$ e $\beta$ i due elementi algebrici in questione. Se, come hai detto tu, scriviamo $$a=c_0+c_1\alpha+\cdots+c_{n-1}\alpha^{n-1}+\alpha^n,$$ allora derivando trovo $$a'=\bigg(\sum_{i=0}^nc_i\alpha^i\bigg)'=\sum_{i=0}^nc_i'\alpha^i+\alpha'\sum_{i=1}^nic_i\alpha^{i-1}.$$
A questo punto calcolando $\pi$ ho $$\pi(a')=\sum_{i=0}^nc_i'\beta^i+\pi(\alpha')\sum_{i=0}^nic_i\beta^{i-1},$$
e d'altra parte se derivo dopo aver applicato $\pi$ ho
$$(\pi(a))'=\bigg(\sum_{i=0}^nc_i\beta^i\bigg)'=\sum_{i=0}^nc_i'\beta^i+\beta'\sum_{i=0}^nic_i\beta^{i-1}.$$
Quindi per concludere mi serve dimostrare che $\pi(\alpha')=\beta'$. Vi ringrazio tanto per il tempo speso ad aiutarmi, spero che non sia troppo stupido il mio problema.
Allora un'altra domanda (senza aver letto l'articolo che hai linkato):
per applicare $\pi$ a $\alpha '$ mi serve che sia $\alpha ' \in K[\alpha]$. Chi ce lo garantisce?
Puoi citare il punto esatto che ti crea problemi nell'articolo linkato?
per applicare $\pi$ a $\alpha '$ mi serve che sia $\alpha ' \in K[\alpha]$. Chi ce lo garantisce?
Puoi citare il punto esatto che ti crea problemi nell'articolo linkato?
Grazie ancora per la disponibilità, sei gentilissimo!
L'appartenenza che dici tu è dovuta al lemma 3.9 del pdf linkato, il quale lemma si basa sulla nozione di campo "classico". Nell'articolo (definizione 3.5) un campo differenziale $K$ di funzioni come ho detto prima viene definito "classico" se per ogni elemento di $K$ la sua derivata usuale appartiene a $K$. Il lemma 3.9 dice che se un campo come sopra è classico, allora ogni sua estensione algebrica è classica.
(La stessa cosa vale per estensioni esponenziali e logaritmiche eventualmente trascendenti, ma non credo che qui serva.)
Il punto che mi crea difficoltà è la "osservazione innocente" 5.2, dove al punto O3 si dichiara la commutatività della $\pi$ con le derivate. Non c'è una dimostrazione di ciò. Il fatto che $\pi$ sia un isomorfismo di campi mi è sembrato subito ovvio, ma questa commutatività no, quindi pensavo di procedere come ho scritto prima...
Grazie mille!
L'appartenenza che dici tu è dovuta al lemma 3.9 del pdf linkato, il quale lemma si basa sulla nozione di campo "classico". Nell'articolo (definizione 3.5) un campo differenziale $K$ di funzioni come ho detto prima viene definito "classico" se per ogni elemento di $K$ la sua derivata usuale appartiene a $K$. Il lemma 3.9 dice che se un campo come sopra è classico, allora ogni sua estensione algebrica è classica.
(La stessa cosa vale per estensioni esponenziali e logaritmiche eventualmente trascendenti, ma non credo che qui serva.)
Il punto che mi crea difficoltà è la "osservazione innocente" 5.2, dove al punto O3 si dichiara la commutatività della $\pi$ con le derivate. Non c'è una dimostrazione di ciò. Il fatto che $\pi$ sia un isomorfismo di campi mi è sembrato subito ovvio, ma questa commutatività no, quindi pensavo di procedere come ho scritto prima...
Grazie mille!
Che articolo carino 
mi sa che me lo leggerò.
Nel frattempo un'altra domanda: visto che lemma 3.9 parla solo del caso "classico" presumo che l'osservazione 5.2 valga solo nel caso classico appunto (altrimenti non avrebbe senso applicare $\pi$ ad $a'$ come abbiamo discusso sopra). In altre parole devi verificare che $pi(\alpha ') = \beta '$ solo quando $\alpha$, $\beta$ sono polinomi, logaritmi o esponenziali. Non ho controllato i dettagli ma questo mi sembra abbastanza fattibile.
In ogni caso rimane poco chiara una cosa: se nel 5.2 sta parlando solo di casi dove è applicabile 3.9 (come deve essere) perché non lo dice esplicitamente?
mi sa che me lo leggerò.Nel frattempo un'altra domanda: visto che lemma 3.9 parla solo del caso "classico" presumo che l'osservazione 5.2 valga solo nel caso classico appunto (altrimenti non avrebbe senso applicare $\pi$ ad $a'$ come abbiamo discusso sopra). In altre parole devi verificare che $pi(\alpha ') = \beta '$ solo quando $\alpha$, $\beta$ sono polinomi, logaritmi o esponenziali. Non ho controllato i dettagli ma questo mi sembra abbastanza fattibile.
In ogni caso rimane poco chiara una cosa: se nel 5.2 sta parlando solo di casi dove è applicabile 3.9 (come deve essere) perché non lo dice esplicitamente?
Sono proprio un allocco, stamattina mi è venuta "l'illuminazione". Se calcolo il polinomio minimo $P$ (che $\alpha$ e $\beta$ condividono) in $\alpha$ e $\beta$, ottengo espressioni polinomiale di $\alpha$ e rispettivamente di $\beta$ uguali a zero. Se derivo queste espressioni posso isolare i termini $f'$ e $g'$ nei membri sinistri delle rispettive equazioni, lasciando a destra dei polinomi in $f$ e $f'$, e rispettivamente in $g$ e $g'$. Usando il magico lemma di cui sopra, posso scrivere $f'$ come polinomio in $f$ e analogamente per $g'$, così alla fine trovo $$f'=\sum_{i=0}^md_if^i,\qquad g'=\sum_{i=0}^md_ig^i,$$ con gli stessi coefficienti $d_i$. A questo punto se applico $\pi$ a entrambi i membri della prima equazione trovo subito che $\pi(f')=g'$.
Grazie mille per l'aiuto! L'articolo è bello, anche se, come hai giustamente notato subito, per orientarcisi bisogna leggere praticamente tutta la prima metà. Se ti interessa davvero mi sembra che l'articolo http://www.dm.unipi.it/pages/gianni/public_html/Alg-Comp/rosenlicht.pdf sia anche meglio. Soprattutto mi pare che questo sia più gratificante per uno che sa l'algebra (per me invece risulta solo più frustrante, sigh). L'approccio è più generale e il risultato finale è pure più sostanzioso (cioè mostra più funzioni per cui la primitiva non è elementare).
Grazie ancora, ciao ciao
Grazie mille per l'aiuto! L'articolo è bello, anche se, come hai giustamente notato subito, per orientarcisi bisogna leggere praticamente tutta la prima metà. Se ti interessa davvero mi sembra che l'articolo http://www.dm.unipi.it/pages/gianni/public_html/Alg-Comp/rosenlicht.pdf sia anche meglio. Soprattutto mi pare che questo sia più gratificante per uno che sa l'algebra (per me invece risulta solo più frustrante, sigh). L'approccio è più generale e il risultato finale è pure più sostanzioso (cioè mostra più funzioni per cui la primitiva non è elementare).
Grazie ancora, ciao ciao
"Trilogy":Perché?
con gli stessi coefficienti $d_i$
Mamma mia, ti ringrazio ancora! Cerco di scrivere per bene tutto quanto e spero.
Sia $P=c_0+c_1X+\cdots+c_mX^m\in K[X]$ (con $c_m\ne0$) il polinomio minimo di $\alpha$ e $\beta$ su $K$. Faccio come nella dimostrazione del celebre lemma 3.9, derivando le identità $P(\alpha)=0$ e $P(\beta)=0$, ottenendo
$$\alpha'\sum_{i=1}^mic_i\alpha^{i-1}=-\sum_{i=0}^mc_i'\alpha^i,\qquad\beta'\sum_{i=1}^mic_i\beta^{i-1}=-\sum_{i=0}^mc_i'\beta^i.$$
Osservo che il polinomio $$Q:=\sum_{i=1}^mic_iX^{i-1}$$ non è nullo, perché $m\ge2$, supponendo che $\alpha$ e $\beta$ non stiano in $K$. Quindi $Q(\alpha)$ è un elemento invertibile di $K(\alpha)$, e $Q(\beta)$ è un elemento invertibile di $K(\beta)$. Dalle due equazioni trovo che
$$\alpha'=-\frac{\sum_{i=0}^mc_i'\alpha^i}{\sum_{i=1}^mic_i\alpha^{i-1}},\qquad
\beta'=-\frac{\sum_{i=0}^mc_i'\beta^i}{\sum_{i=1}^mic_i\beta^{i-1}}.$$
A questo punto applicherei $\pi$ all'equazione a destra, arrivando a
$$\pi(\alpha')=-\frac{\sum_{i=0}^mc_i'\beta^i}{\sum_{i=1}^mic_i\beta^{i-1}}.$$
Ti sono molto grato per la pazienza e la precisione!
Sia $P=c_0+c_1X+\cdots+c_mX^m\in K[X]$ (con $c_m\ne0$) il polinomio minimo di $\alpha$ e $\beta$ su $K$. Faccio come nella dimostrazione del celebre lemma 3.9, derivando le identità $P(\alpha)=0$ e $P(\beta)=0$, ottenendo
$$\alpha'\sum_{i=1}^mic_i\alpha^{i-1}=-\sum_{i=0}^mc_i'\alpha^i,\qquad\beta'\sum_{i=1}^mic_i\beta^{i-1}=-\sum_{i=0}^mc_i'\beta^i.$$
Osservo che il polinomio $$Q:=\sum_{i=1}^mic_iX^{i-1}$$ non è nullo, perché $m\ge2$, supponendo che $\alpha$ e $\beta$ non stiano in $K$. Quindi $Q(\alpha)$ è un elemento invertibile di $K(\alpha)$, e $Q(\beta)$ è un elemento invertibile di $K(\beta)$. Dalle due equazioni trovo che
$$\alpha'=-\frac{\sum_{i=0}^mc_i'\alpha^i}{\sum_{i=1}^mic_i\alpha^{i-1}},\qquad
\beta'=-\frac{\sum_{i=0}^mc_i'\beta^i}{\sum_{i=1}^mic_i\beta^{i-1}}.$$
A questo punto applicherei $\pi$ all'equazione a destra, arrivando a
$$\pi(\alpha')=-\frac{\sum_{i=0}^mc_i'\beta^i}{\sum_{i=1}^mic_i\beta^{i-1}}.$$
Ti sono molto grato per la pazienza e la precisione!
Ah sì è vero 
grazie.
grazie.
Ma grazie a te! Stavo per sbagliare l'n-esima volta, mi hai dato davvero una grande mano! Sono state utilissime le risposte
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