Isomorfismo

[bezout]

Ciao a tutti e grazie in anticipo. Non riesco a dimostrare questa cosa:
Siano I e J due ideali frazionari allora:
I è isomorfo a J se e soltanto se I=xJ con x appartenente a K*

[G.D.5]

Il MathML non è una opzione.

[bezout]

$I ~= J iff I=xJ EE x \in K*$

[Gaal Dornick]

Ciao! ti consiglio di provare prima un'implicazione poi l'altra.
Ti darei una mano, ma per questo mi puoi dare la tua definizione di ideale frazionario?

[bezout]

Sia A un dominio di integrità e K il suo campo dei quozienti. Un sotto-A-modulo I di K si dice ideale frazionario di A se $EE a in A, a ne 0$ tale che $aI subseteq A$. Oppure equivalentemente I è un ideale frazionario $iff$ $I=xJ$ per qualche $x in K$ e qualche ideale $J subseteq A$. L'implicazione <= l'ho dimostrata però facendo vedere che sono isomorfi come A-moduli mentre credo (anche se non è specificato nell'esercizio) che si intende isomorfi come anelli.

[Gaal Dornick]

perfetto. E' al disopra della mia portata. Pensavo fosse roba di anelli..

[rubik2]

essendo sottomoduli forse non sono neanche anelli secondo me l'isomorfismo è di $A-"moduli"$

per l'implicazione inversa potresti tensorizzare su A per K la successione $0->I->J->0$ ottenendo $0->I\otimes_A K->J\otimes_A K->0$ (se resta esatta non ho controllato) ma $I\otimes_A K=J\otimes_A K=K$

quindi hai un isomorfismo $K$-lineare di $K$ in se stesso che deve essere necessariamente la moltiplicazione per un suo elemento $x!=0$, e questo dovrebbe essere un elemento tale che $J=xI$. Non ho

controllato niente spero che ti dia almeno un idea, ciao