Isomorfismo

[squalllionheart]

Sia R un anello , S un insieme e T un sottoinsieme di S
Allora $R^S:={f:S->R}$ e $I_T={f: f(t)=0_R}$
Dove le operazioni di R sono definite nel seguente modo:
$(f+g)(s):=f(s)+g(s)$
$(fg)(s):=f(s)g(s)$
Dimostrare che $I_T$ è ideale di $R^S$ che che inoltre $R^S/I_T$ isomorfo a $R^T$

il mio problema è che nn riesco a vedere come si comportano le altre applicazioni fuori di T. Aiutatemi.

[Chevtchenko]

"squalllionheart":Sia R un anello , S un insieme e T un sottoinsieme di S
Allora $R^S:={f:S->R}$ e $I_T={f: f(t)=0_R}$

Sei sicura che non è invece $I_T = { f : f(t) = 0_R, \forall t \in T }$ ?

[squalllionheart]

si quello cmq con $t$ intendevo $tin T$.Mi spighi come funge perchè io nn lo vedo, come funzionano le altre funzioni fuori $T$.Illuminami, grazie e a presto.

[Chevtchenko]

Se $f \in R^S$, indichiamo con $f_T$ la restrizione di $f$ a $T$ e consideriamo l'applicazione $\Psi : f \in R^S \mapsto f_T \in R^T$. E' immediato riconoscere che $\Psi$ è omomorfismo di anelli ed è suriettiva, sicché $R^S / {Ker \Psi}$ è isomorfo a $R^T$ per il (primo) teorema di isomorfismo.

Ma chi è $Ker \Psi$? E' proprio $I_T$ (che risulta quindi ideale bilatero...). E abbiamo finito...

[squalllionheart]

Ma si può fare questa cosa di restringere il dominio?Ci avevo pensato anche io ma nn mi aveva convinto.
Grazie per la disponibilità.

[Chevtchenko]

"squalllionheart":Ma si può fare questa cosa di restringere il dominio?Ci avevo pensato anche io ma nn mi aveva convinto.

Certo che si può fare!