Isomorfismo

[matematicus95]

perché se un gruppo $(G,*)$ (indicato in notazione moltiplicativa) è isomorfo a $(Z,+)$ allora avrà infiniti sottogruppi non banali?

[Frink1]

Se due gruppi sono isomorfi hanno gli stessi sottogruppi, e ogni $ x \in \mathbb{Z}$ genera un sottogruppo non banale.

[matematicus95]

come si dimostra che se due gruppi sono isomorfi hanno gli stessi sottogruppi, e "stessi" come va inteso?

[Frink1]

Stessi va inteso nel senso di "copia". Infatti, due gruppi isomorfi sono a tutti gli effetti uguali: tutte le proprietà del gruppo si conservano e anche le proprietà dell'elemento stesso. Usando la definizione di isomorfismo ad esempio puoi dimostrare facilmente che l'immagine tramite isomorfismo conserva l'ordine dell'elemento. Questo fa sì che anche i sottogruppi siano uguali (perché? esercizio).

[matematicus95]

e se invece si parla di sottogruppi infiniti come in $(Z,+)$ ?