Isomorfismi tra campi
Su Q si considerino l'usuale addizione $+$ e la moltiplicazione $°$ definita ponendo, per ogni x e y in Q:
$x°y=3/4x*y$
Si dimostri che $Q(+,°)$ è isomorfo al campo $Q(+,*)$ con le usuali operazioni di somma e prodotto
Non riesco a trovare una definizione di isomorfismo tra campi
quella di cui dispongo è la seguente:
un isomorfismo da $Q(+,°)$ in $Q(+,*)$ è una funzione $f$ tale che:
$f(x°y)=f(x)*f(y)$ per ogni $x,y in Q$
credo che la mia definizione sia quantomeno incompleta...
$x°y=3/4x*y$
Si dimostri che $Q(+,°)$ è isomorfo al campo $Q(+,*)$ con le usuali operazioni di somma e prodotto
Non riesco a trovare una definizione di isomorfismo tra campi
quella di cui dispongo è la seguente:
un isomorfismo da $Q(+,°)$ in $Q(+,*)$ è una funzione $f$ tale che:
$f(x°y)=f(x)*f(y)$ per ogni $x,y in Q$
credo che la mia definizione sia quantomeno incompleta...
Risposte
guarda qui
Per l'esercizio, invece di trovare un'isomorfismo specifico, si può ragionare in maniera un tantino diversa.
Come gruppi, $(Q,+)$ è isomorfo a se stesso, quindi quello che ci deve preoccupare è vedere se il prodotto normale e quello dato dall'esercizio soddisfano le stesse proprietà.
In poche parole, visto che $(Q,+,*)$ è un campo, $(Q*,*)$ è un gruppo moltiplicativo.
Dobbiamo far vedere che anche $(Q*,°)$ è un gruppo. Di conseguenza facciamo vedere che $(Q,+,°)$ è un campo e che quindi è isomorfo a $(Q.+,*)$.
Proviamo che $(Q,°)$ è un gruppo.
Siano $x,y,z in Q$
$x°(y°z)=x°(3/4y*z)=3/4x*3/4*y*z=9/16x*y*z$ e $(x°y)°z=(3/4x*y)°z=3/4(3/4x*y*z)=9/16xyz$ ne segue che
$x°(y°z)=(x°y)°z$ vale la proprietà associativa.
Come elemento neutro possiamo prendere, credo $e=4/3$
infatti $AA x in Q : x°4/3=3/4x4/3=1*x=x=4/3°x$
Ora ci manca da far vedere che $AA x EE y | x°y=y°x=4/3$
$x°y=4/3 => 3/4x*y=4/3 <=> x*y=16/9 => y=16/9*(1/x)$
In effetti Per ogni $x$
$x°y=y°x=x°(16/9*(1/x))= 3/4x*(16/9*(1/x))=3/4*16/9*x*(1/x)=4/3*1=4/3$.
Dunque essendo $(Q^-,*)$ un gruppo , possiamo dire che $(Q,+,°)$ è un campo.
Quindi $(Q,+,*)$ e $(Q,+,°)$ sono isomorfi.
ti convince?
Per l'esercizio, invece di trovare un'isomorfismo specifico, si può ragionare in maniera un tantino diversa.
Come gruppi, $(Q,+)$ è isomorfo a se stesso, quindi quello che ci deve preoccupare è vedere se il prodotto normale e quello dato dall'esercizio soddisfano le stesse proprietà.
In poche parole, visto che $(Q,+,*)$ è un campo, $(Q*,*)$ è un gruppo moltiplicativo.
Dobbiamo far vedere che anche $(Q*,°)$ è un gruppo. Di conseguenza facciamo vedere che $(Q,+,°)$ è un campo e che quindi è isomorfo a $(Q.+,*)$.
Proviamo che $(Q,°)$ è un gruppo.
Siano $x,y,z in Q$
$x°(y°z)=x°(3/4y*z)=3/4x*3/4*y*z=9/16x*y*z$ e $(x°y)°z=(3/4x*y)°z=3/4(3/4x*y*z)=9/16xyz$ ne segue che
$x°(y°z)=(x°y)°z$ vale la proprietà associativa.
Come elemento neutro possiamo prendere, credo $e=4/3$
infatti $AA x in Q : x°4/3=3/4x4/3=1*x=x=4/3°x$
Ora ci manca da far vedere che $AA x EE y | x°y=y°x=4/3$
$x°y=4/3 => 3/4x*y=4/3 <=> x*y=16/9 => y=16/9*(1/x)$
In effetti Per ogni $x$
$x°y=y°x=x°(16/9*(1/x))= 3/4x*(16/9*(1/x))=3/4*16/9*x*(1/x)=4/3*1=4/3$.
Dunque essendo $(Q^-,*)$ un gruppo , possiamo dire che $(Q,+,°)$ è un campo.
Quindi $(Q,+,*)$ e $(Q,+,°)$ sono isomorfi.
ti convince?
Kashaman, tu hai mostrato che [tex](\mathbb{Q},+,\circ)[/tex] è un campo, ma questo non implica che sia isomorfo a [tex](\mathbb{Q},+,\cdot)[/tex], ti manca da esibire un isomorfismo 
"Martino":
Kashaman, tu hai mostrato che [tex](\mathbb{Q},+,\circ)[/tex] è un campo, ma questo non implica che sia isomorfo a [tex](\mathbb{Q},+,\cdot)[/tex], ti manca da esibire un isomorfismo
mmh, su questo hai ragione. Ma una domanda, visto che sei anni luce più esperto di me, il fatto che le operazioni sono definite su uno stesso supporto, $Q$, non basta dire che le due operazioni soddisfano gli stessi assiomi, e che quindi i due campi sono identici. O bisogna per forza esibire un isomorfismo specifico tra $(Q,+,*)$ e $(Q,+,°)$?
Bisogna esibire un isomorfismo. Su uno stesso insieme ci sono a priori strutture di campo tra loro non isomorfe.
Considera per esempio [tex]\mathbb{R}[/tex] con le operazioni usuali. Non è algebricamente chiuso. Ora prendi una biiezione (insiemistica) [tex]f:\mathbb{R} \to \mathbb{C}[/tex] e definisci le seguenti operazioni su [tex]\mathbb{R}[/tex]:
[tex]x+y := f^{-1}(f(x)+f(y))[/tex],
[tex]x \cdot y := f^{-1}(f(x) \cdot f(y))[/tex]
(questo procedimento si chiama tecnicamente "trasporto di struttura"). [tex]\mathbb{R}[/tex] con queste nuove operazioni è algebricamente chiuso (e [tex]f[/tex] determina un isomorfismo con [tex]\mathbb{C}[/tex]), quindi non è isomorfo all'[tex]\mathbb{R}[/tex] usuale.
Tra parentesi, questo tipo di dubbi che hai (inutile dirlo ma lo dico lo stesso) non è banale: c'è un teorema che dice che per ogni caratteristica [tex]p \geq 0[/tex] e per ogni cardinalità non numerabile [tex]c[/tex] esiste al più (a meno di isomorfismi) un campo algebricamente chiuso di cardinalità [tex]c[/tex] e caratteristica [tex]p[/tex].
Considera per esempio [tex]\mathbb{R}[/tex] con le operazioni usuali. Non è algebricamente chiuso. Ora prendi una biiezione (insiemistica) [tex]f:\mathbb{R} \to \mathbb{C}[/tex] e definisci le seguenti operazioni su [tex]\mathbb{R}[/tex]:
[tex]x+y := f^{-1}(f(x)+f(y))[/tex],
[tex]x \cdot y := f^{-1}(f(x) \cdot f(y))[/tex]
(questo procedimento si chiama tecnicamente "trasporto di struttura"). [tex]\mathbb{R}[/tex] con queste nuove operazioni è algebricamente chiuso (e [tex]f[/tex] determina un isomorfismo con [tex]\mathbb{C}[/tex]), quindi non è isomorfo all'[tex]\mathbb{R}[/tex] usuale.
Tra parentesi, questo tipo di dubbi che hai (inutile dirlo ma lo dico lo stesso) non è banale: c'è un teorema che dice che per ogni caratteristica [tex]p \geq 0[/tex] e per ogni cardinalità non numerabile [tex]c[/tex] esiste al più (a meno di isomorfismi) un campo algebricamente chiuso di cardinalità [tex]c[/tex] e caratteristica [tex]p[/tex].
ho capito martino, sei stato illuminante, anche se non ho ancora i mezzi per capirti appieno!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo