Isomorfismi nella categoria Posets

[perplesso1]

Show that in Posets the isomorphisms are NOT the same as the bijective homomorphisms.

Non capisco il perchè. Il testo definisce la categoria Posets come la categoria i cui oggetti sono gli insiemi parzialmente ordinati e le cui frecce sono la applicazioni monotone cioè tali che $x < y \rightarrow f(x)Posets considero un isomorfismo $f:A \rightarrow B$ allora usando le proprietà della composizione fra applicazioni ricavo

$g \circ f = 1_A \rightarrow f$ iniettiva
$f \circ g = 1_B \rightarrow f$ surriettiva

e quindi $f$ è biettiva e monotona e pertanto è un omomorfismo biettivo fra posets. Lo so che non capisco le cose al volo, abbiate pazienza. Grazie!

[vict85]

Infatti quello che devi mostrare è che non tutti i morfismi biiettivi sono isomorfismi. Il problema sta negli elementi \(x\) e \(y\) che non sono confrontabili. Prova per esempio a ragionare nel poset dei sottoinsiemi di \(\mathbb{N}\) con l'ordina dato dall'inclusione.

[perplesso1]

Grazie infinite, non avevo pensato a questa eventualità, ora credo di aver capito, dimmi se va bene questo esempio: consideriamo i due poset $X={x_1

Cita

Segnala

[vict85]

A occhio dovrebbe funzionare, ma sono anche io un principiante.

[perplesso1]

Ti ringrazio, sei stato illuminante.