Isomorfismi e polinomi
Sia V = $RR_k[x]$ , $k>= 2$ e siano $ U = (f in V$ t.c. $x^2| f)$, W = $(f in V$ t.c $(x^2 + 1) | f)$ dove
q | f significa q divide f, cioè f = pq per qualche $p in V$
1)Dimostrare che U e W sono isomorfi.
2)Scrivere U come nucleo di una applicazione lineare $F : V => RR^s$ con s che non dipende da k.
Allora il primo punto l'ho dimostrando banalmente facendo un isomorfismo tra una base di $U = u_1 .... U_n$ ed $RR^n$ e poi tra una base di $V = v_1...v_p$ ed $RR^p$, e poi definendo l'applicazione lineare $L_a$ come la matrice $M_(pxn)$. Ma non so se va bene come procedimento... il secondo punto non ho idea di come farlo, anche perchè mi sembra che ogni polinomio di V si possa scrivere come polinomio di U... quindi sbaglio nel ragionare... ad esempio il polinomio di V
$f = 3x^2 - 5x$ è diviso da q, infatti $ 3x^2 - 5x = p x^2 => p = (3x^2 - 5x)/(x^2)$
Non so dove sbaglio... potreste aiutarmi e dirmi anche come si risolve il secondo punto?
q | f significa q divide f, cioè f = pq per qualche $p in V$
1)Dimostrare che U e W sono isomorfi.
2)Scrivere U come nucleo di una applicazione lineare $F : V => RR^s$ con s che non dipende da k.
Allora il primo punto l'ho dimostrando banalmente facendo un isomorfismo tra una base di $U = u_1 .... U_n$ ed $RR^n$ e poi tra una base di $V = v_1...v_p$ ed $RR^p$, e poi definendo l'applicazione lineare $L_a$ come la matrice $M_(pxn)$. Ma non so se va bene come procedimento... il secondo punto non ho idea di come farlo, anche perchè mi sembra che ogni polinomio di V si possa scrivere come polinomio di U... quindi sbaglio nel ragionare... ad esempio il polinomio di V
$f = 3x^2 - 5x$ è diviso da q, infatti $ 3x^2 - 5x = p x^2 => p = (3x^2 - 5x)/(x^2)$
Non so dove sbaglio... potreste aiutarmi e dirmi anche come si risolve il secondo punto?
Risposte
scusa mi dici una base di U e W?
poi attento il polinomio p che hai scritto tu non è un polinomio in quanto x è al denominatore, semmai quella è una funzione razionale ma assolutamente non un polinomio.,
poi attento il polinomio p che hai scritto tu non è un polinomio in quanto x è al denominatore, semmai quella è una funzione razionale ma assolutamente non un polinomio.,