Isomorfismi di gruppi

[mistake89]

Volevo chiedere dei ragguagli circa un esercizio e circa dei dubbi che mi sono sorti a riguardo.

L'esercizio è questo: detto $G=C_(S_4)(h)$, provare che $G$ è isomorfo a $D_4$. Ove ho indicato con $h$ la permutazione $(1 2)(3 4)$
Se non ho sbagliato a calcolare $G$ risulta avere ordine $8$ e $G={id, (12)(34),(13)(24),(14)(23),(12),(34),(1423),(1324)}$

Essendo $D_4$ presentato, basterà definire un isomorfismo che soddisfi le identità di $D_4$, cioè che $sigma^4=1,tau^2=1,tausigmatau=sigma^3$

Ma cio è verificato da più permutazioni presenti in $G$. Quindi per far sì che siano isomorfi basterà prendere una coppia "a caso" che verifichi tali identità, provare che sia un omo, e provare la surgettività. Esiste un altro metodo? Anche perchè per provare che $=G$ dovrei provare tutte le possibili coppie che verificano le identità fino a trovare quella desiderata?
Altra domanda: e se volessi calcolare quanti isomorfismi sussistono tra questi due gruppi come dovrei comportarmi?

Grazie mille.

[Studente Anonimo]

"mistake89":per far sì che siano isomorfi basterà prendere una coppia "a caso" che verifichi tali identità, provare che sia un omo, e provare la surgettività. Esiste un altro metodo? Anche perchè per provare che $=G$ dovrei provare tutte le possibili coppie che verificano le identità fino a trovare quella desiderata?

Quando trovi una coppia di elementi che verifica le identità sei a posto, non devi trovarle tutte per dimostrare che $G cong D_8$ (io chiamo $D_8$ quello che tu chiami $D_4$).

Un altro modo per vedere la cosa è dimostrare (addirittura) che ogni sottogruppo di $S_4$ di ordine 8 è isomorfo a $D_8$ (è equivalente, dato che i 2-Sylow di $S_4$ hanno ordine 8 e sono a due a due coniugati - in particolare isomorfi). Per questo basta costruire una opportuna azione fedele di $D_8$ su quattro oggetti (tipicamente, si prendono i quattro vertici di un quadrato).

Altra domanda: e se volessi calcolare quanti isomorfismi sussistono tra questi due gruppi come dovrei comportarmi?

In pratica stai chiedendo come è fatto $"Aut"(D_8)$, per questo ti rimando qui.

[mistake89]

Grazie Martino dell'aiuto

Volevo dire, una volta che io ho trovato $sigma$ e $tau$ dovrei anche verificare che effettivamente sia surgettivo tale isomorfismo. Cioè che tutte le potenze e le composizioni varie mi generino effettivamente $G$. Ad esempio preso $tau=(12)$ e $sigma=(34)$ si vede che soddisfano le identità, ma di certo non è surgettivo questo omomorfismo. Mentre con $sigma=(1423)$ e $tau=(12)$ dovrebbe esserlo.
Il mio dubbio era circa quest'ultimo procedimento, cioè per verificare che effettivamente fosse un isomorfismo, dovrei provare o che $ker$ è banale, cosa forse non banale, in quando dovrei provare che le permutazioni scelte non verifichino altre identità, oppure far vedere che è surgettivo. Per far ciò devo quindi calcolarmi le potenze e le composizioni di $sigma$ e $tau$ e verificare che effettivamente sono tutte le permutazioni di $G$. Non esiste un altro metodo?

L'altro modo che proponi purtroppo non l'ho capito appieno ma ci penso un pò su (magari aspetto fino a fare i teoremi di Sylow) e leggo l'altro topic linkato!
Grazie ancora

[Studente Anonimo]

Il punto è qui:

"mistake89":Ad esempio preso $tau=(12)$ e $sigma=(34)$ si vede che soddisfano le identità

Questo è il punto in cui devi pensare. Una presentazione di un gruppo non è un elenco di uguaglianze di elementi, ma fornisce le relazioni minimali che gli elementi dati devono verificare. Quindi per esempio la presentazione

$sigma^4=1$, $tau^2=1$, $tau sigma tau = sigma^3$

significa che $sigma$ ha ordine 4, $tau$ ha ordine 2 e $tau sigma tau = sigma^3$. Nel tuo esempio $sigma=(34)$ non va bene perché ha ordine 2, non 4.

In pratica una presentazione (chiamiamola P) di un gruppo G ti dice che G è il gruppo "universale" rispetto a quelli che verificano P.

Ho paura di non essermi spiegato..

[mistake89]

No invece ti sei spiegato benissimo, e mi hai chiarito una cosa importante (se ho capito ). Purtroppo li abbiamo solo accennati e non avevo recepito che queste relazioni fossero minimali. Perciò avevo considerato quel $sigma$.

[mistake89]

Martino perchè calcolare il numero di isomorfismi tra due gruppi si risolve nel calcolare $Aut(G)$. So che gli automorfismi sono importanti perchè ci rivelano quali omomorfismi mantengono fisso il gruppo, ma non capisco come ciò si possa collegare al "contare" gli isomorfismi tra due gruppi.

L'idea intuitiva che mi son fatto è la seguente (ma potrebbe essere sbagliata): considerati $G,G'$ due gruppi isomorfismi tramite l'isomorfismo $phi$, allora per ogni automorfismo di $G$ avrò un isomorfismo $phi_1$ "indotto" dall'automorfismo? Non so se sono riuscito a spiegarmi chiaramente.

[Studente Anonimo]

"mistake89":L'idea intuitiva che mi son fatto è la seguente (ma potrebbe essere sbagliata): considerati $G,G'$ due gruppi isomorfismi tramite l'isomorfismo $phi$, allora per ogni automorfismo di $G$ avrò un isomorfismo $phi_1$ "indotto" dall'automorfismo?

Certo. Se $G cong H$ sono due gruppi isomorfi tramite $f:G to H$ allora l'insieme degli automorfismi di $G$ corrisponde biunivocamente all'insieme degli isomorfismi $G to H$ tramite la regola $phi to f circ phi$.

[mistake89]

Ahah son contento di essermi districato

Grazie mille Martino. Ora mi rimane da capire come determinare tale gruppo di automorfismi, assegnato un gruppo. Leggero l'altro topic con interesse!

[mistake89]

Ciao Martino, volevo fare una domanda circa la questione di "contare" gli isomorfismi tra due gruppi.
Abbiamo detto che se $G$ e $G'$ sono isomorfi allora tali isomorfismi sono in numero $|Aut(G)|$ giusto? Per il discorso fatto precedentemente.
Secondo analogo ragionamento non possiamo dire che sono in numero $|Aut(G')|$, cioè componendo l'automorfismo dopo l'iso?

Oppure se due spazi $G$ e $G'$ sono isomorfi lo saranno hanno $Aut(G)$ ed $Aut(G')$? E quindi in particolare avranno la stessa cardinalità?

Scusami se sto dicendo porcherie

Rimane ora il problema di capire come determinare $Aut(G)$ ed immagino che esso non sia assolutamente un problema banale! (scusami per questa domanda, ma il thread linkato mi dà problemi di visualizzazione. Infatti a parte il primo post vedo solamente gli smile e nessuna parola, quindi non sono riuscito a leggerlo!)

[Studente Anonimo]

"mistake89":Secondo analogo ragionamento non possiamo dire che sono in numero $|Aut(G')|$, cioè componendo l'automorfismo dopo l'iso?

Certo.

Oppure se due spazi $G$ e $G'$ sono isomorfi lo saranno hanno $Aut(G)$ ed $Aut(G')$? E quindi in particolare avranno la stessa cardinalità?

Certo che sì. In pratica passare da un gruppo a uno isomorfo significa cambiare i nomi agli elementi. Ne segue ovviamente che i gruppi degli automorfismi di due gruppi isomorfi sono "gli stessi" (cioè, sono isomorfi).

Rimane ora il problema di capire come determinare $Aut(G)$ ed immagino che esso non sia assolutamente un problema banale!

Infatti, non è un problema banale. Per esempio già calcolare $"Aut"(S_n)$ non è facile. E nemmeno gli automorfismi di un gruppo abeliano sono troppo facili da trovare.

[mistake89]

"Martino":[quote="mistake89"]Secondo analogo ragionamento non possiamo dire che sono in numero $|Aut(G')|$, cioè componendo l'automorfismo dopo l'iso?

Certo.

Oppure se due spazi $G$ e $G'$ sono isomorfi lo saranno hanno $Aut(G)$ ed $Aut(G')$? E quindi in particolare avranno la stessa cardinalità?

Certo che sì. In pratica passare da un gruppo a uno isomorfo significa cambiare i nomi agli elementi. Ne segue ovviamente che i gruppi degli automorfismi di due gruppi isomorfi sono "gli stessi" (cioè, sono isomorfi).
[/quote]
Ti ringrazio Martino, mi fa piacere quando ci capisco qualcosa

"Martino":

Rimane ora il problema di capire come determinare $Aut(G)$ ed immagino che esso non sia assolutamente un problema banale!

Infatti, non è un problema banale. Per esempio già calcolare $"Aut"(S_n)$ non è facile. E nemmeno gli automorfismi di un gruppo abeliano sono troppo facili da trovare.

E quindi come approcciare il problema da me espresso? Cioè dati ad esempio i gruppi del mio primo post, si possono contare gli isomorfismi, oppure è un problema difficilmente risolvibile?

Grazie ancora Martino

[Studente Anonimo]

Vedi qui. Come ho scritto nel link che non riesci a visualizzare (strano..) si ha $"Aut"(D_8) cong D_8$. In particolare $D_8$ ammette esattamente otto automorfismi.

[mistake89]

Bella questa pagina... La leggerò con calma.
Grazie ancora!

PS So che è molto strano e mi capita per ora solo con quel thread, sia su linux che su windows!