Isomorfismi di anelli

[Chadwick]

Devo dimostrare che AxB e BxA, con A e B anelli, sono isomorfi. Esistono metodi più veloci per dimostrarlo rispetto alla banale definizione di isomorfismo?

[Studente Anonimo]

Intendi rispetto alla soluzione "ovvia" data dalla costruzione dell'isomorfismo $A \times B \to B \times A,\ (a,b) \mapsto (b,a)$ ? Credo sia difficile trovare una soluzione più veloce di questa

[Chadwick]

Ehm...no..io mi son dimostrato che ci sta l'unità, $f(a,b)=f(a)+f(b)$, il prodotto, che è suriettivo ed iniettivo..e mi sa che ho toppato?!

[Studente Anonimo]

"Chadwick":Ehm...no..io mi son dimostrato che ci sta l'unità, $f(a,b)=f(a)+f(b)$, il prodotto, che è suriettivo ed iniettivo..e mi sa che ho toppato?!

Non lo so, dovresti spiegarti meglio. Ci sta l'unità dove? Cosa è f ?

[Chadwick]

Ho definito $f:AxxB->BxxA$ e volevo vedere se era un isomorfismo.

[Studente Anonimo]

"Chadwick":Ho definito $f:AxxB->BxxA$ e volevo vedere se era un isomorfismo.

Ok, ma come l'hai definita?

[Chadwick]

Uacca boia..ecco dov'è il baco.. quindi?come lo risolvo?

[Studente Anonimo]

"Chadwick":Uacca boia..ecco dov'è il baco.. quindi?come lo risolvo?

Devi definire una funzione $f:A \times B \to B \times A$. Definirla significa decidere per un generico $(a,b) \in A \times B$ che cosa sia $f(a,b)$.

Una volta definita tale f devi controllare se è un isomorfismo (ma non puoi fare tale controllo prima di definirla!).

[Chadwick]

Mi cospargo il capo di cenere..hai raggione, mancava semplicemente la parte fondamentale..grazie..