Irriducibilità su Z di x^n-p per p primo

[Thomas16]

Altro esercizio dell'Hernstein da controllare

Prob: DImostrare che $x^n-p$ è irriducibile su $Q$ per $p$ primo e $n$ generico.

Sol: sia per assurdo il polinomio riducibile. Per il lemma di Gauss visto che si tratta di un polinomio monico possiamo supporre che sia riducibile su $Z$. Allora:

$x^n-p=(a_0+a_1+...+a_k x^k)(b_0+b_1+...+b_m x^m)$

con $a_i$ e $b_i$ interi, $a_k,b_m >0$ e $0
Ora $p=-a_0b_0$. Essendo $p$ primo possiamo supporre $a_0=\pm p$ e $b_0=\pm 1$. Vediamo cosa succede studiando il termine di primo grado. Essendo questo nullo:

$p | 0 = a_1b_0+a_0b_1$

da cui $p|a_1$. Analogamente il termine di secondo grado:

$p| a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2$.

Da cui $p|a_2$.

In questo modo, si arriva a $p | a_i$ per ogni $i=0,k$ (ricordoando che $k
Come vi sembra? Voi avreste ragionato in modo diverso?

[Thomas16]

In realtà non mi convince molto la soluzione perchè uso solo che il termine noto del polinomio è $p$, che il polinomio è monico e che $p$ divide tutti i coefficienti meno quello di grado massimo ... ci deve essere un baco....

[Thomas16]

In effetti potevo dire semplicemente:

http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein%27s_criterion



(in effetti studiando meglio la dimostrazione di Eisenstein, questa è molto simile al procedimento che ho usato)