Irriducibilità polinomio
Come posso dimostrare che $P(x)=x^7+2$ è irriducibile su Q[x]?
Il metodo che utilizzo di solito qui non va bene....
Il metodo che utilizzo di solito qui non va bene....
Risposte
Perché non Eisenstein?
ci ho pensato, ma Eisenstein si applica a polinomi a coefficienti interi, se anche esprimo x come a/b con a e b interi mi viene un polinomio si a coefficienti interi ma con 2 variabili, e eisenstein si applica ovviamente a polinomi di una sola incognita, o mi sto sbagliando? tu come l'avevi pensato?
Io avevo pensato ad Eisenstein combinato con il lemma di Gauss, che è il procedimento standard.
Lo so, però in questo caso non si può usare...
Come non si può usare??!
Per il lemma di Gauss un polinomio a coefficienti in [tex]\mathbb Z[/tex] è irriducibile in [tex]\mathbb Q[X][/tex] se e solo se è irriducibile in [tex]\mathbb Z[X][/tex]. E in [tex]\mathbb Z[X][/tex] il criterio di Eisenstein conclude banalmente...
Per il lemma di Gauss un polinomio a coefficienti in [tex]\mathbb Z[/tex] è irriducibile in [tex]\mathbb Q[X][/tex] se e solo se è irriducibile in [tex]\mathbb Z[X][/tex]. E in [tex]\mathbb Z[X][/tex] il criterio di Eisenstein conclude banalmente...
Per il lemma di gauss un polinomio a coefficienti interi che è irriducibile in Z[x] lo è anche in Q[x] ma in questo caso il polinomio è a coefficienti razionali... CIT WIKIPEDIA
"squirrel_anna":
Come posso dimostrare che $P(x)=x^7+2$ è irriducibile su Q[x]?
Scusami, ma a me sembra proprio un polinomio a coefficienti interi!
Mi accodo a Maurer!
Ma chi lo dice che è a coefficienti interi??? riscrivo il testo: Sia dato il polinomio P(x)=x^7+2 a coefficienti in Q. Si provi che è irriducibile
Ascolta. Tu sei d'accordo con me che [tex]2 = \frac{2}{1} \in \mathbb Z \subset \mathbb Q[/tex]???!
"squirrel_anna":
ci ho pensato, ma Eisenstein si applica a polinomi a coefficienti interi, se anche esprimo x come a/b con a e b interi mi viene un polinomio si a coefficienti interi ma con 2 variabili, e eisenstein si applica ovviamente a polinomi di una sola incognita, o mi sto sbagliando? tu come l'avevi pensato?
Non avevo letto questo tuo post con attenzione... e devo dire che rivela una falla piuttosto grossa e grave nei tuoi pensieri.
La X è una indeterminata. Non ha senso dire "sostituisco [tex]x = \frac{a}{b}[/tex]"! O meglio, un senso ce l'avrebbe, ma è completamente diverso da quello a cui stai pensando tu, quindi è meglio dire: "non ha senso quello che stai pensando".
Tu stai considerando il polinomio [tex]P(X) = X^7 + 2 \in \mathbb Q[X][/tex].
Tuttavia, siccome [tex]\mathbb Z \subset \mathbb Q[/tex], allora [tex]\mathbb Z[X]\subset \mathbb Q[X][/tex] e un polinomio [tex]a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n \in \mathbb Q[X][/tex] è un polinomio a coefficienti interi se e solo se i coefficienti sono interi, ossia se e solo se [tex]a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb Z[/tex] (sei d'accordo, vero, che questi sono i coefficienti??).
In questo caso le ipotesi del Lemma di Gauss sono soddisfatte!
Ti invito a soppesare pesantemente ogni parola evidenziata nel mio discorso prima di rispondere qualsiasi cosa...
E poi, mi faresti il piacere di rispondere a questa domanda: "che differenza c'è tra un polinomio ed una funzione polinomiale?"
P.S. Vorrei sottolineare come ci sia una bella differenza, per un polinomio, tra avere una radice ed essere riducibile!!!!
E' del resto evidente che Z non sta in Q, i numeri di Z non hanno la lineetta sotto.
"killing_buddha":
E' del resto evidente che Z non sta in Q, i numeri di Z non hanno la lineetta sotto.
LOOOOOL!
Guarda, oltre ad Einstein , puoi usare una decina di altri metodi che comunque sia sono una frega più lunghi ma che comunque possono servire a capire come il criterio di Einstein in questo caso banale sia molto vantaggioso.
Enunciamo il Teorema :
Sia $f(x) in Z[x]$ un polinomio NON COSTANTE. Sia p primo tale che
a) p non divide $a_n$
b) p divide $a_i$ per ogni $ i = 0,...,n-1$
c) $p^2$ non divide $a_0$
allora $f(X) $ è irriducibile in Q[x]
Premessa
$1$ di $x^7$ è intero , e $2$ di a con zero è intero. Ciò è giustificato dal fatto $Q = ZxZ$ , cioè $QQ$ si costruisce a partire dall'insieme dei numeri interi. E dunque è possibile identificare particolari numeri razionali in interi in determinate situazioni. Ad esempio, come si definisce un numero razionale?
se $\alpha$ è un numero è razionale se e solo se $\alpha = r/s $ ove r e s sono INTERI , s è diverso da zero e $MCD ( r , s) = 1$
puoi partire da questa definizione per definire un intero.
$\alpha = = r/s $ è un intero se e solo se $s= 1$ . Pertanto, anche se la traccia diceva polinomio in Q[x] , tale polinomio aveva già i propri coefficenti interi. Quindi potevi applicare benissimo il Criterio di Eistein osservando che
per p primo , p= 2
a) p non divide 1
b) p divide tutti gli altri i (perchè il polinomio può anche essere visto nella forma $f(x) = X^7+0x^6+0x^5.....+2$
c) $p^2$ non divide due.
Dunque per il Criterio di Einstein , f(x) è irriducibile in $q[x]$ .
Ma ricorda che Eistein è un criterio solo SUFFICIENTE , non si inverte, infatti possono esistere polinomi che non soddisfano il criterio ma che sono irriducibili .
Controesempio :
$f(x) = 2X^3+x-1 in Z[x]$ (provalo)
Nota : se proprio poi volevi essere masochista, notavi che $f(x) $ non ha radici in $Q[x]$ allora per uno dei corollari al Th. di Ruffini non c'è nessun polinomio di grado uno che divide f in Q[x].
Ma ciò non ci dice assolutamente che $f(x)$ sia irriducibile, ci dice solo che $f(X)$ non ha radici in $Q[x]$ e che quindi potrebbe ammettere la seguente fattorizzazione :
1) $f(x) = (x^2+ax+b)(x^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g) $ ove $ a, b , c , d, e , f , g in ZZ$
notando che $bg= 2$ si ha che
1) $b = 1$ e $g=2$
2)$b=2$ e $g=1$ (perché questo?)
ti sviluppavi quel prodotto immenso consideravi i due casi sovrastanti applicando il principio di identità dei polinomi e se i due sistemi risultavano essere incompatibili, allora $f(x) $ è irriducibile.
Enunciamo il Teorema :
Sia $f(x) in Z[x]$ un polinomio NON COSTANTE. Sia p primo tale che
a) p non divide $a_n$
b) p divide $a_i$ per ogni $ i = 0,...,n-1$
c) $p^2$ non divide $a_0$
allora $f(X) $ è irriducibile in Q[x]
Premessa
$1$ di $x^7$ è intero , e $2$ di a con zero è intero. Ciò è giustificato dal fatto $Q = ZxZ$ , cioè $QQ$ si costruisce a partire dall'insieme dei numeri interi. E dunque è possibile identificare particolari numeri razionali in interi in determinate situazioni. Ad esempio, come si definisce un numero razionale?
se $\alpha$ è un numero è razionale se e solo se $\alpha = r/s $ ove r e s sono INTERI , s è diverso da zero e $MCD ( r , s) = 1$
puoi partire da questa definizione per definire un intero.
$\alpha = = r/s $ è un intero se e solo se $s= 1$ . Pertanto, anche se la traccia diceva polinomio in Q[x] , tale polinomio aveva già i propri coefficenti interi. Quindi potevi applicare benissimo il Criterio di Eistein osservando che
per p primo , p= 2
a) p non divide 1
b) p divide tutti gli altri i (perchè il polinomio può anche essere visto nella forma $f(x) = X^7+0x^6+0x^5.....+2$
c) $p^2$ non divide due.
Dunque per il Criterio di Einstein , f(x) è irriducibile in $q[x]$ .
Ma ricorda che Eistein è un criterio solo SUFFICIENTE , non si inverte, infatti possono esistere polinomi che non soddisfano il criterio ma che sono irriducibili .
Controesempio :
$f(x) = 2X^3+x-1 in Z[x]$ (provalo)
Nota : se proprio poi volevi essere masochista, notavi che $f(x) $ non ha radici in $Q[x]$ allora per uno dei corollari al Th. di Ruffini non c'è nessun polinomio di grado uno che divide f in Q[x].
Ma ciò non ci dice assolutamente che $f(x)$ sia irriducibile, ci dice solo che $f(X)$ non ha radici in $Q[x]$ e che quindi potrebbe ammettere la seguente fattorizzazione :
1) $f(x) = (x^2+ax+b)(x^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g) $ ove $ a, b , c , d, e , f , g in ZZ$
notando che $bg= 2$ si ha che
1) $b = 1$ e $g=2$
2)$b=2$ e $g=1$ (perché questo?)
ti sviluppavi quel prodotto immenso consideravi i due casi sovrastanti applicando il principio di identità dei polinomi e se i due sistemi risultavano essere incompatibili, allora $f(x) $ è irriducibile.
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