Irriducibilità polinomio

[Kashaman]

In un altro tema d'esame mi sono imbattuto in quest'altro esercizio.
Dire se il polinomio

$f(x)=2x^5-180x^4+2*31^31x^3+1086542x^2+2*101^100*47^48x+34 \in ZZ[x]$ è irriducibile in $q(X)$.

Ho notato che tale polinomio ammette fattorizzazione in $ZZ(X)$ mettendo in evidenza il 2. Ma oltre questo, il Criterio di Einstein non mi sembra impraticabile, per il criterio dell'esistenza delle radici mi sembra impraticabile anche quello dato i coefficienti del polinomio... l'unica soluzione sarebbe la riduzione modulo p primo.. ho provato per p=3 ma non sono giunto a un risultato soddisfacente, in quanto in $ZZ_3$ ogni a è radice... provo per p=7... o un'altro primo, o c'è una soluzione più semplice che non riesco a vedere?

[Gi81]

$f(x)=2x^5-180x^4+2*31^31x^3+1086542x^2+2*101^100*47^48x+34 =$
$= 2*(x^5 -90 x^4 +31^31 x^3 +543271 x^2 +[101^100 * 47^48] x +17)$

Ora, in $ZZ_2 [x]$ il polinomio dentro la parentesi diventa $x^5+x^3 +x^2+x+1$
Se non ho sbagliato i calcoli (controlla anche tu), tale polinomio è irriducibile in $ZZ_2[x]$

[Kashaman]

Thanks, ora provo

[Kashaman]

perfetto, provato e risulta irriducibile, grazie gi8