Irriducibilità di un polinomio in $QQ[x]$
Buonasera a tutti!
Devo provare che il polinomio $x^5+7x^4+2x^3+6x^2-x+8$ è irriducibile in $QQ[x]$. Gradirei sapere se il ragionamento eseguito è corretto o meno:
sfrutto la riduzione modulo 3 e ottengo: $x^5+x^4+2x^3+2x+2$. Osservo che tale polinomio non si annulla per nessun valore tra quelli consentiti in $ZZ_3$, ossia: 0, 1, 2, 3, quindi provo a fattorizzarlo tramite un polinomio di terzo grado ed uno di secondo. Ciò lo si può fare in due modi distinti: $(x^3+bx^2+cx+1)(x^2+dx+2)$ e $(x^3+bx^2+cx+2)(x^2+dx+1)$. Discuto il primo caso, dal momento che il secondo è analogo. Sviluppando si ottiene:
$x^5+x^4(b+d)+x^3(bd+c+2)+x^2(2b+cd+1)+x(2c+d)+2$ e, in forza del principio di identità dei polinomi, deduco:
${(b+d=1), (bd+c+2=2), (2b+cd+1=0), (2c+d=2):} -> {(b=d=2), (c=-1=2), (2+2c=0), (2c=0):} -> {(b=d=2), (c=-1=2), (c=-1=2), (c=0):}$. Evidentemente il sistema è impossibile poichè vi sono due equazioni incompatibili e pertanto il polinomio è irriducibile.
Analogamente per l'altro caso.
Il mio dubbio fondamentale è nella risoluzione del sistema: è corretto il ragionamento operato? Ad esempio dal fatto che $b+d=1$ e dal momento che stiamo lavorando in $ZZ_3$, deduco che $b=d=2$, poichè $2+2=4=1$ in $ZZ_3$.
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Devo provare che il polinomio $x^5+7x^4+2x^3+6x^2-x+8$ è irriducibile in $QQ[x]$. Gradirei sapere se il ragionamento eseguito è corretto o meno:
sfrutto la riduzione modulo 3 e ottengo: $x^5+x^4+2x^3+2x+2$. Osservo che tale polinomio non si annulla per nessun valore tra quelli consentiti in $ZZ_3$, ossia: 0, 1, 2, 3, quindi provo a fattorizzarlo tramite un polinomio di terzo grado ed uno di secondo. Ciò lo si può fare in due modi distinti: $(x^3+bx^2+cx+1)(x^2+dx+2)$ e $(x^3+bx^2+cx+2)(x^2+dx+1)$. Discuto il primo caso, dal momento che il secondo è analogo. Sviluppando si ottiene:
$x^5+x^4(b+d)+x^3(bd+c+2)+x^2(2b+cd+1)+x(2c+d)+2$ e, in forza del principio di identità dei polinomi, deduco:
${(b+d=1), (bd+c+2=2), (2b+cd+1=0), (2c+d=2):} -> {(b=d=2), (c=-1=2), (2+2c=0), (2c=0):} -> {(b=d=2), (c=-1=2), (c=-1=2), (c=0):}$. Evidentemente il sistema è impossibile poichè vi sono due equazioni incompatibili e pertanto il polinomio è irriducibile.
Analogamente per l'altro caso.
Il mio dubbio fondamentale è nella risoluzione del sistema: è corretto il ragionamento operato? Ad esempio dal fatto che $b+d=1$ e dal momento che stiamo lavorando in $ZZ_3$, deduco che $b=d=2$, poichè $2+2=4=1$ in $ZZ_3$.
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
e se fosse $b=0$ e $d=1$, o viceversa?
devi sempre controllare tutti i casi possibili.
devi sempre controllare tutti i casi possibili.
Ops! Vero... comunque sia anche in questi casi il sistema è impossibile. La tecnica risolutiva è comunque formalmente corretta?
Penso di sì.
E' proprio questa la comodità di lavorare in campi $ZZ_p$.
Infatti, uno potrebbe anche impostare tutto il ragionamento in $QQ$ e arrivare fino a scrivere il sistema: capire però che quel sistema era incompatibile sarebbe stato abbastanza arduo (per altro, spesso capitano sistemi non lineari, cioè di grado superiore al primo). Invece, lavorando in uno $ZZ_p$ riesci ad impostare un sistema e a capire al volo se esso è irriducibile.
Spero sia stato chiaro.
E' proprio questa la comodità di lavorare in campi $ZZ_p$.
Infatti, uno potrebbe anche impostare tutto il ragionamento in $QQ$ e arrivare fino a scrivere il sistema: capire però che quel sistema era incompatibile sarebbe stato abbastanza arduo (per altro, spesso capitano sistemi non lineari, cioè di grado superiore al primo). Invece, lavorando in uno $ZZ_p$ riesci ad impostare un sistema e a capire al volo se esso è irriducibile.
Spero sia stato chiaro.
Chiarissimo! Dato che siamo in tema, propongo di dimostrare l'irriducibilità di $x^5-x+1$. Ragionando analogamente, e riducendo modulo 2 ottengo:
${(a+c=0), (1+c+b=0), (a+bc+1=0), (b+c=1):}$. Ho qualche perplessità a trovare i valori di $a$ e $c$ dalla prima equazione. Dovrei forse considerare separatamente i tre casi: $a=0, c=2$; $a=2, c=0$; $a=2, b=2$?
${(a+c=0), (1+c+b=0), (a+bc+1=0), (b+c=1):}$. Ho qualche perplessità a trovare i valori di $a$ e $c$ dalla prima equazione. Dovrei forse considerare separatamente i tre casi: $a=0, c=2$; $a=2, c=0$; $a=2, b=2$?
"Andrea90":
$a=0, c=2$; $a=2, c=0$; $a=2, b=2$?
Ricorda che in $ZZ_2$ dire $2$ è come dire $0$. Inoltre, mi pare manchi $a=c=1$.
Inoltre, ti faccio notare che la seconda equazione e la quarta sono la stessa: dire $-1$, infatti, è come dire $1$ sempre in $ZZ_2$...
E quindi è inutile esaminare casi come $a=2$ e $c=2$? Cioè dovrei fermarmi al caso $a=c=1$?
Il tuo sistema in definitiva (notando quello che ti ho scritto nel post di sopra) è questo:
${(a+c=0), (b+c=1), (a+bc+1=0):}$.
Quello che intendevo sopra io è che $bar 2 = bar 0$ (la barra sopra indica che è un'uguaglianza tra classi): in $ZZ_2$ ci sono solo due elementi, 0 e 1. Niente altro: se hai un numero qualsiasi diverso da questi due, lo riconduci alla classe di 0 o di 1 vedendo se è pari o dispari.
D'altra parte, si vede subito che $a=c=0$ va bene per la prima equazione ma non per la terza... quindi questo caso è presto escluso.
${(a+c=0), (b+c=1), (a+bc+1=0):}$.
Quello che intendevo sopra io è che $bar 2 = bar 0$ (la barra sopra indica che è un'uguaglianza tra classi): in $ZZ_2$ ci sono solo due elementi, 0 e 1. Niente altro: se hai un numero qualsiasi diverso da questi due, lo riconduci alla classe di 0 o di 1 vedendo se è pari o dispari.
D'altra parte, si vede subito che $a=c=0$ va bene per la prima equazione ma non per la terza... quindi questo caso è presto escluso.
Ok. E quindi in questo caso come porto avanti il mio sistema? Cioè come concludo che il polinomio $x^5-x+1$ è irriducibile?
Io cambierei un po' strada, almeno cambierei il modulo. In effetti, mi pare che $a=c=1$ e $b=0$ soddisfino il sistema, per cui il tuo polinomio è riducibile in $ZZ_2$.
Sicuro che sia lo $ZZ_p$ migliore? E' un suggerimento o un tuo tentativo?
Sicuro che sia lo $ZZ_p$ migliore? E' un suggerimento o un tuo tentativo?
E' un mio tentativo! Il libro suggerisce di lavorare in $ZZ_3$ ...!
"Andrea90":
E' un mio tentativo! Il libro suggerisce di lavorare in $ZZ_3$ ...!
Tentativo fallito! Comunque in $Z_3$ dovrebbe risultare... anzi risulta sicuramente!!
E' un bell'esempio questo: direi che hai proprio centrato il punto focale del problema.
Un teorema ti dice che se trovi almeno uno $ZZ_p$ per cui il polinomio è irriducibile allora esso è sicuramente irriducibile anche in $ZZ[xx]$ (e se il polinomio è primitivo risulta irriducibile di conseguenza in $QQ[xx]$).
Sta a te trovare lo $ZZ_p$ opportuno: a volte non è facile beccarlo, ma in quei casi quasi sempre si può scomodare Eisenstein...
Un teorema ti dice che se trovi almeno uno $ZZ_p$ per cui il polinomio è irriducibile allora esso è sicuramente irriducibile anche in $ZZ[xx]$ (e se il polinomio è primitivo risulta irriducibile di conseguenza in $QQ[xx]$).
Sta a te trovare lo $ZZ_p$ opportuno: a volte non è facile beccarlo, ma in quei casi quasi sempre si può scomodare Eisenstein...
Esattamente. Preferivo non scomodare Eisenstein anche perchè avrei dovuto congetturare una sostituzione lineare opportuna. Nel nostro caso dato che il polinomio è primitivo deduco l'irriducibilità in $QQ[x]$ e anche in $ZZ[x]$, giusto?
[Mi è piaciuto questo esercizietto!]
[Mi è piaciuto questo esercizietto!]
Dato che siamo in tema, propongo un altro polinomio da ridurre in $ZZ_5$: $x^4+1$.
Ho osservato che $nexists barx inZZ_5|(barx)^4+1=0$. Allora mi resta da vedere se posso fattorizzare il polinomio utilizzando due polinomi di secondo grado. Indicando con $(ax^2+b)(cx^2+d)$ la generica fattorizzazione, per il principio di identità dei polinomi ottengo il sistema:
${(ac=1), (ad+bc=0), (bd=1):}.
Dalla prima equazione si trae che: $(a=c=1) or (a=2 et c=3) or (a=3 et c=2)$. Esaminando il caso in cui $a=c=1$ ottengo un sistema possibile e la fattorizzazione risultante è: $(x^2+3)(x^2+2)$ nei restanti casi ottengo dei sistemi impossibili. Per esempio nel secondo caso ottengo:
${(a=2), (c=3), (2d+3b=0), (bd=1):}.
Dalla terza equazione ricavo $d=-3b/2$ e sostituendo nell'ultima si ha: $b^2=-2/3$ ed è evidente che: $nexists barb inZZ_5|(barb)^2=-2/3$.
Mi chiedo: la mia argomentazione nel caso del sistema impossibile è corretta?
Ho osservato che $nexists barx inZZ_5|(barx)^4+1=0$. Allora mi resta da vedere se posso fattorizzare il polinomio utilizzando due polinomi di secondo grado. Indicando con $(ax^2+b)(cx^2+d)$ la generica fattorizzazione, per il principio di identità dei polinomi ottengo il sistema:
${(ac=1), (ad+bc=0), (bd=1):}.
Dalla prima equazione si trae che: $(a=c=1) or (a=2 et c=3) or (a=3 et c=2)$. Esaminando il caso in cui $a=c=1$ ottengo un sistema possibile e la fattorizzazione risultante è: $(x^2+3)(x^2+2)$ nei restanti casi ottengo dei sistemi impossibili. Per esempio nel secondo caso ottengo:
${(a=2), (c=3), (2d+3b=0), (bd=1):}.
Dalla terza equazione ricavo $d=-3b/2$ e sostituendo nell'ultima si ha: $b^2=-2/3$ ed è evidente che: $nexists barb inZZ_5|(barb)^2=-2/3$.
Mi chiedo: la mia argomentazione nel caso del sistema impossibile è corretta?
Osserva che dal fatto che $ac=1$ segue $(ax^2+b)(cx^2+d) = ac (x^2+b/a)(x^2+d/c) = (x^2+b/a)(x^2+d/c)$. Questo significa che ogni fattorizzazione è del tipo $(x^2+b)(x^2+d)$. In parole povere puoi tranquillamente porre $a=c=1$.
Ok. Ma procedendo come ho fatto io, ho appena osservato che il sistema corrispondente al secondo caso è possibile se $b=d=1$ e per tali valori si ottiene la fattorizzazione $(2x^2+1)(3x^2+1)$ che tuttavia è distinta da quella che ho trovato prima. Cosa sbaglio?
"Andrea90":Non è distinta: $(2x^2+1)(3x^2+1)=(2*3)*(x^2+1/2)*(x^2+1/3)=(x^2+2)(x^2+3)$. Quando si parla di fattorizzazione la si intende a meno di moltiplicare i vari fattori per elementi invertibili.
Ok. Ma procedendo come ho fatto io, ho appena osservato che il sistema corrispondente al secondo caso è possibile se $b=d=1$ e per tali valori si ottiene la fattorizzazione $(2x^2+1)(3x^2+1)$ che tuttavia è distinta da quella che ho trovato prima. Cosa sbaglio?
Ah ok. Quindi il mio procedimento non è sbagliato.. giusto?
"Andrea90":Ricorda che $1/2 = 3$, quindi hai ottenuto $d = -9b = b$.
Dalla terza equazione ricavo $d=-3b/2$ e sostituendo nell'ultima si ha: $b^2=-2/3$ ed è evidente che: $nexists barb inZZ_5|(barb)^2=-2/3$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo