Irriducibilità di un polinomio in $QQ[x]$
Buonasera a tutti!
Devo provare che il polinomio $x^5+7x^4+2x^3+6x^2-x+8$ è irriducibile in $QQ[x]$. Gradirei sapere se il ragionamento eseguito è corretto o meno:
sfrutto la riduzione modulo 3 e ottengo: $x^5+x^4+2x^3+2x+2$. Osservo che tale polinomio non si annulla per nessun valore tra quelli consentiti in $ZZ_3$, ossia: 0, 1, 2, 3, quindi provo a fattorizzarlo tramite un polinomio di terzo grado ed uno di secondo. Ciò lo si può fare in due modi distinti: $(x^3+bx^2+cx+1)(x^2+dx+2)$ e $(x^3+bx^2+cx+2)(x^2+dx+1)$. Discuto il primo caso, dal momento che il secondo è analogo. Sviluppando si ottiene:
$x^5+x^4(b+d)+x^3(bd+c+2)+x^2(2b+cd+1)+x(2c+d)+2$ e, in forza del principio di identità dei polinomi, deduco:
${(b+d=1), (bd+c+2=2), (2b+cd+1=0), (2c+d=2):} -> {(b=d=2), (c=-1=2), (2+2c=0), (2c=0):} -> {(b=d=2), (c=-1=2), (c=-1=2), (c=0):}$. Evidentemente il sistema è impossibile poichè vi sono due equazioni incompatibili e pertanto il polinomio è irriducibile.
Analogamente per l'altro caso.
Il mio dubbio fondamentale è nella risoluzione del sistema: è corretto il ragionamento operato? Ad esempio dal fatto che $b+d=1$ e dal momento che stiamo lavorando in $ZZ_3$, deduco che $b=d=2$, poichè $2+2=4=1$ in $ZZ_3$.
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Devo provare che il polinomio $x^5+7x^4+2x^3+6x^2-x+8$ è irriducibile in $QQ[x]$. Gradirei sapere se il ragionamento eseguito è corretto o meno:
sfrutto la riduzione modulo 3 e ottengo: $x^5+x^4+2x^3+2x+2$. Osservo che tale polinomio non si annulla per nessun valore tra quelli consentiti in $ZZ_3$, ossia: 0, 1, 2, 3, quindi provo a fattorizzarlo tramite un polinomio di terzo grado ed uno di secondo. Ciò lo si può fare in due modi distinti: $(x^3+bx^2+cx+1)(x^2+dx+2)$ e $(x^3+bx^2+cx+2)(x^2+dx+1)$. Discuto il primo caso, dal momento che il secondo è analogo. Sviluppando si ottiene:
$x^5+x^4(b+d)+x^3(bd+c+2)+x^2(2b+cd+1)+x(2c+d)+2$ e, in forza del principio di identità dei polinomi, deduco:
${(b+d=1), (bd+c+2=2), (2b+cd+1=0), (2c+d=2):} -> {(b=d=2), (c=-1=2), (2+2c=0), (2c=0):} -> {(b=d=2), (c=-1=2), (c=-1=2), (c=0):}$. Evidentemente il sistema è impossibile poichè vi sono due equazioni incompatibili e pertanto il polinomio è irriducibile.
Analogamente per l'altro caso.
Il mio dubbio fondamentale è nella risoluzione del sistema: è corretto il ragionamento operato? Ad esempio dal fatto che $b+d=1$ e dal momento che stiamo lavorando in $ZZ_3$, deduco che $b=d=2$, poichè $2+2=4=1$ in $ZZ_3$.
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
Beh certo! Ora è evidente. Avevo preso un abbaglio. In ogni caso, fra gli altri casi dovrebbe esseri anche quello di $a=4, c=4$, no?
"Andrea90":Sì, ma facendo variare $a$ e $c$ ottieni solo fattori moltiplicati per un elemento invertibile. Per quanto ne so, quando si parla di fattorizzazioni si considerano due fattorizzazioni uguali se ogni fattore della seconda è ottenuto da un fattore della prima moltiplicandolo per un elemento invertibile.
Beh certo! Ora è evidente. Avevo preso un abbaglio. In ogni caso, fra gli altri casi dovrebbe esseri anche quello di $a=4, c=4$, no?
Sì infatti. Una cosa: quando hai provato che potevo direttamente considerare $a=c=1$, come hai fatto a dedurre che: $(x^2+b/a)(x^2+d/c)=(x^2+b)(x^2+d)$ Non avresti già sfruttato il fatto (da dimostrare) che $a=c=1$? O forse mi sto confondendo in maniera ingiustificata?!
"Andrea90":Forse sono stato poco chiaro: non ho detto che vale l'uguaglianza $(x^2+b/a)(x^2+d/c)=(x^2+b)(x^2+d)$, ho solo detto che la fattorizzazione $(x^2+b/a)(x^2+d/c)$ è del tipo $(x^2+b)(x^2+d)$, cioè il prodotto di due polinomi del tipo $x^2+\mbox{costante}$.
Sì infatti. Una cosa: quando hai provato che potevo direttamente considerare $a=c=1$, come hai fatto a dedurre che: $(x^2+b/a)(x^2+d/c)=(x^2+b)(x^2+d)$ Non avresti già sfruttato il fatto (da dimostrare) che $a=c=1$? O forse mi sto confondendo in maniera ingiustificata?!
Forse per essere più chiaro avrei dovuto usare lettere diverse, dire cioè che la fattorizzazione $(x^2+b/a)(x^2+d/c)$ è del tipo $(x^2+h)(x^2+k)$.
Ah ok! Chiarissimo adesso!
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