Irriducibilità di $\mathbb{A}^2$ per la topologia di Zariski
Ciao (:
Devo dimostrare in maniera diretta che, dato $K$ un campo algebricamente chiuso, $(\mathbb{A}^{2})_{K}$ è irriducibile per la topologia di Zariski (cioè non può essere espresso come unione $\mathbb{A}^{2}=V(a) \cup V(b)$ con $a,b$ ideali di $K[x,y]$).
Per farla in maniera diretta pensavo di procedere in modo simile alla dimostrazione per $\mathbb{A}^{1}$:
essendo $K$ alg. chiuso allora $\mathbb{A}^{1}$ è infinito. Invece i chiusi, essendo i punti che corrispondono a zeri di un polinomio, sono finiti, e quindi ho concluso.
Però non riesco a formalizzare la cosa anche per $\mathbb{A}^{2}$.
Qualcuno è in grado di aiutarmi?
Grazie mille!!
Devo dimostrare in maniera diretta che, dato $K$ un campo algebricamente chiuso, $(\mathbb{A}^{2})_{K}$ è irriducibile per la topologia di Zariski (cioè non può essere espresso come unione $\mathbb{A}^{2}=V(a) \cup V(b)$ con $a,b$ ideali di $K[x,y]$).
Per farla in maniera diretta pensavo di procedere in modo simile alla dimostrazione per $\mathbb{A}^{1}$:
essendo $K$ alg. chiuso allora $\mathbb{A}^{1}$ è infinito. Invece i chiusi, essendo i punti che corrispondono a zeri di un polinomio, sono finiti, e quindi ho concluso.
Però non riesco a formalizzare la cosa anche per $\mathbb{A}^{2}$.
Qualcuno è in grado di aiutarmi?
Grazie mille!!
Risposte
Con \(\mathbb{A}^2\) e' piu' complicato perche' gli insiemi chiusi di \(\mathbb{A}^2\) non sono necessariamente finiti. Ad esempio le rette di \(\mathbb{A}^2\) sono chiusi "isomorfi" (in un senso che studierai, ma abbastanza intuitivo in questo caso) a degli \(\mathbb{A}^1\) che sono infiniti.
Il modo piu' semplice e' attraverso l'algebra. Se $V(a)$ e $V(b)$ sono chiusi propri di \(\mathbb{A}^2\), sapresti trovare un polinomio non nullo che si annulla sulla loro unione? E una volta che si ha questo polinomio, come si conclude?
Il modo piu' semplice e' attraverso l'algebra. Se $V(a)$ e $V(b)$ sono chiusi propri di \(\mathbb{A}^2\), sapresti trovare un polinomio non nullo che si annulla sulla loro unione? E una volta che si ha questo polinomio, come si conclude?
Direi che il polinomio che si annulla sull'unione deve annullarsi sui punti di $a$ e sui punti di $b$, quindi direi che il polinomio è il prodotto dei due polinomi. Sbaglio?
E sapendo questo potrei procedere dicendo che, essendo $\mathbb{A}^2 = V(0)$, allora se $\mathbb{A}^2$ fosse irriducibile troverei due polinomi il cui prodotto è il polinomio $0$. Ma questo non è possibile.
Potrebbe essere questa una idea per la soluzione?
Grazie mille comunque (:
E sapendo questo potrei procedere dicendo che, essendo $\mathbb{A}^2 = V(0)$, allora se $\mathbb{A}^2$ fosse irriducibile troverei due polinomi il cui prodotto è il polinomio $0$. Ma questo non è possibile.
Potrebbe essere questa una idea per la soluzione?
Grazie mille comunque (:
L'idea e' giusta ma devi stare un po' attento perche' $a$ e $b$ sono ideali ma non necessariamente principali (non sono necessariamente singoli polinomio).
Prendo un polinomio $f \in a$ e un polinomio $g \in b$ e allora il loro prodotto si annulla sull'unione di $V(a)$ e $V(b)$. Il prodotto non e' nullo, quindi $V(a) \cup V(b)$ e' un chiuso proprio di \(\mathbb{A}^2\); qui e' importante che il campo sia algebricamente chiuso; infatti stiamo usando il Teorema degli Zeri.
Prendo un polinomio $f \in a$ e un polinomio $g \in b$ e allora il loro prodotto si annulla sull'unione di $V(a)$ e $V(b)$. Il prodotto non e' nullo, quindi $V(a) \cup V(b)$ e' un chiuso proprio di \(\mathbb{A}^2\); qui e' importante che il campo sia algebricamente chiuso; infatti stiamo usando il Teorema degli Zeri.
Si giusto! Okay ora mi è chiaro
Grazie mille @Pappappero (: (: (:
Grazie mille @Pappappero (: (: (: