Inverso moltiplicativo delle classi
Salve a tutti, preparandomi per l'esame di MD ho notato che nelle dispense fornite dal professore questo argomento è trattato in maniera spicciola e non molto bene...
Il testo dell'esercizio mi chiede:
Determinare, se esistono, gli inversi moltiplicativi delle classi date:
\(\displaystyle [35] \epsilon \mathbb{Z}60 \)
\(\displaystyle [8] \epsilon \mathbb{Z}21 \)
\(\displaystyle [15] \epsilon \mathbb{Z}64 \)
Ora, se ho ben capito, l'inverso di una classe esiste solo se i due valori numerici dati sono primi tra loro, quindi la prima delle tre classi non può essere invertita poiché 5 è divisore di 35 e 60 mentre le altre due si.
La mia domanda è, come procedo per trovare l'inverso moltiplicativo?
Grazie
Il testo dell'esercizio mi chiede:
Determinare, se esistono, gli inversi moltiplicativi delle classi date:
\(\displaystyle [35] \epsilon \mathbb{Z}60 \)
\(\displaystyle [8] \epsilon \mathbb{Z}21 \)
\(\displaystyle [15] \epsilon \mathbb{Z}64 \)
Ora, se ho ben capito, l'inverso di una classe esiste solo se i due valori numerici dati sono primi tra loro, quindi la prima delle tre classi non può essere invertita poiché 5 è divisore di 35 e 60 mentre le altre due si.
La mia domanda è, come procedo per trovare l'inverso moltiplicativo?
Grazie
Risposte
Inverso moltiplicativo della classe \(\displaystyle [x]\in \mathbb{Z}_{n} \) significa che vuoi trovare un numero \(\displaystyle y\in\mathbb{Z} \) tale che \(\displaystyle xy = nz + 1 \) per una qualche \(\displaystyle y\in\mathbb{Z} \), è evidente che questo non può succedere se \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle n \) non sono coprimi. La dimostrazione invece dell'implicazione inversa deriva dall'identità di Bezout.
Detto questo hai che \(\displaystyle x^{\varphi(n)}\equiv 1\mod n \) dove \(\displaystyle \varphi \) è la funzione \(\displaystyle \varphi \) di Eulero (quando \(x\) e \(n\) sono coprimi ovviamente).
P.S.: Incluso è il comando [inline]\in[/inline] e non [inline]\epsilon[/inline].
Detto questo hai che \(\displaystyle x^{\varphi(n)}\equiv 1\mod n \) dove \(\displaystyle \varphi \) è la funzione \(\displaystyle \varphi \) di Eulero (quando \(x\) e \(n\) sono coprimi ovviamente).
P.S.: Incluso è il comando [inline]\in[/inline] e non [inline]\epsilon[/inline].
"vict85":
Inverso moltiplicativo della classe \(\displaystyle [x]\in \mathbb{Z}_{n} \) significa che vuoi trovare un numero \(\displaystyle y\in\mathbb{Z} \) tale che \(\displaystyle xy = nz + 1 \) per una qualche \(\displaystyle y\in\mathbb{Z} \), è evidente che questo non può succedere se \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle n \) non sono coprimi. La dimostrazione invece dell'implicazione inversa deriva dall'identità di Bezout.
Detto questo hai che \(\displaystyle x^{\varphi(n)}\equiv 1\mod n \) dove \(\displaystyle \varphi \) è la funzione \(\displaystyle \varphi \) di Eulero (quando \(x\) e \(n\) sono coprimi ovviamente).
P.S.: Incluso è il comando [inline]\in[/inline] e non [inline]\epsilon[/inline].
Leggendo anche su internet ho capito che devo svolgere l'MCD tra i due numeri e dopo riscrivere l'uno (MCD) in funzione dei numeri precedenti ed il numero che moltiplicherà [x] sarà il suo inverso in quel \(\displaystyle \mathbb{Z} \)
Per il comando incluso non sapevo quale fosse visto che ho usato un editor LaTex online e non ho trovato il simbolo incluso
Lol
"PelDiCarota":
Ciao NerdMind. Se ti interessa ti posso dare ripetizioni al palazzo delle scienze oggi alle 17:00.
Un abbraccio, il tuo ammiratore e collega segreto.
Questa cosa è abbastanza inquietante
Ed ecco che ancora una volta è nato l'amore su *mente!
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