Inverso di un elemento di un campo.

[nadia891]

Ciao a tutti,
ho avuto difficoltà a trovare l'inverso dell'elemento $g:=J+ x^2+4$ nel campo $(ZZ/(7ZZ))"/"J$ con $J$ ideale generato dal polinomio $f:= x^4+3x+1$.
Ho provato a dividere il polinomio $f$ per $x^2+4$ ma non riesco a ottenere un polinomio del campo che moltiplicato per $g$ mi da l'elemento neutro $1+J$.Ci sono altre strade che posso prendere?

[Lord K]

Credo che ci sia qualcosa che non va, se osservi:

[tex]x^4+3x+1=(x-3)(x^3+3x^2+2x+2)[/tex]

se non ricordo male perchè poi [tex]\displaystyle \frac{\mathbb Z_7}{J}[/tex] sia un campo, [tex]J[/tex] deve essere irriducibile... ed in questo insieme al più possiamo costruire un anello con divisori dello zero...

[Martino]

"nadia89":ho avuto difficoltà a trovare l'inverso dell'elemento $g:=J+ x^2+4$ nel campo $(ZZ/(7ZZ))"/"J$ con $J$ ideale generato dal polinomio $f:= x^4+3x+1$.

Come ha osservato Lord K, quello non è un campo. Tuttavia puoi trovare l'inverso dell'elemento che hai detto tramite l'algoritmo di Euclide, come fai per i numeri interi. Trovi $a(x)$ e $b(x)$ tali che $a(x)f(x)+b(x)g(x)=1$ e riducendo modulo $f(x)$ ottieni che l'inverso di $g(x)+J$ è $b(x)+J$. Questo si può fare perché $g(x)+J$ è invertibile, in altre parole $f(x)$ e $g(x)$ sono coprimi.

Ma questa è teoria generale, dovresti averla vista.