Inverso di se stesso
Ciao a tutti!
Mi sono incagliata su questo quesito: "esistono in $ Z_2 [x] $ degli elementi che sono l'inverso di se stessi?".
Ho ragionato in questo modo: tali elementi solo tali che elevati al quadrato danno 1... pertanto $ Z_2 [x] $ dovrebbe contenere radici quadrate di 1... $z=1$ è dunque sicuramente uno di tali elementi ma l'esercizio specificava anche di non limitarsi a soluzioni banali... non ho idea di come proseguire... dovrei trovare un polinomio giusto? Ma in che senso sarebbe radice quadrata 1?
Ho le idee parecchio confuse, lo ammetto...
Grazie!
Mi sono incagliata su questo quesito: "esistono in $ Z_2 [x] $ degli elementi che sono l'inverso di se stessi?".
Ho ragionato in questo modo: tali elementi solo tali che elevati al quadrato danno 1... pertanto $ Z_2 [x] $ dovrebbe contenere radici quadrate di 1... $z=1$ è dunque sicuramente uno di tali elementi ma l'esercizio specificava anche di non limitarsi a soluzioni banali... non ho idea di come proseguire... dovrei trovare un polinomio giusto? Ma in che senso sarebbe radice quadrata 1?
Ho le idee parecchio confuse, lo ammetto...
Grazie!
Risposte
Ciao!
Dato che $\mathbb{Z_2}$ è un campo allora in $\mathbb{Z_2[x]}$ gli invertibili sono tutte le costanti non nulle, per cui in particolare ci saranno gli invertibili che hanno come inverso se stessi rispetto alla moltiplicazione(dato che parli di quadrati, suppongo tu ti stia riferendo al prodotto).
Il punto è che $\mathbb{Z_2}-{0} = {[1]_2}$, il quale ammette come inverso se stesso. Per cui l'unico elemento che soddisfa la richiesta data è proprio $[1]_2$
Dato che $\mathbb{Z_2}$ è un campo allora in $\mathbb{Z_2[x]}$ gli invertibili sono tutte le costanti non nulle, per cui in particolare ci saranno gli invertibili che hanno come inverso se stessi rispetto alla moltiplicazione(dato che parli di quadrati, suppongo tu ti stia riferendo al prodotto).
Il punto è che $\mathbb{Z_2}-{0} = {[1]_2}$, il quale ammette come inverso se stesso. Per cui l'unico elemento che soddisfa la richiesta data è proprio $[1]_2$
[edit]: ahia, ho notato che ha appena risposto Shocker... io ho sbagliato. Ma lascio pubblicata la risposta così vedo dove...
Ciao Disee, benvenuta tra noi
Provo a farlo anch'io, ma tieni conto che sono i primi che faccio (fidarsi è bene e non fidarsi è meglio
)
Risponderei che hanno per inversi se stessi:
1) i polinomi con termine noto 1 e un numero dispari di termini
2) i polinomi senza termine noto e con un numero pari di termini
Questo perché:
1) nel caso 1, se la x è dispari il valore di p(x) è dispari, e 1 x 1 = 1; se la x è pari, p(x) è ancora dispari
2) nel caso 0, se la x è dispari il valore di p(x) è dispari, e 1 x 1 = 1; se la x è pari, p(x) è ancora dispari
Ciao Disee, benvenuta tra noi
Provo a farlo anch'io, ma tieni conto che sono i primi che faccio (fidarsi è bene e non fidarsi è meglio
) Risponderei che hanno per inversi se stessi:
1) i polinomi con termine noto 1 e un numero dispari di termini
2) i polinomi senza termine noto e con un numero pari di termini
Questo perché:
1) nel caso 1, se la x è dispari il valore di p(x) è dispari, e 1 x 1 = 1; se la x è pari, p(x) è ancora dispari
2) nel caso 0, se la x è dispari il valore di p(x) è dispari, e 1 x 1 = 1; se la x è pari, p(x) è ancora dispari
Ciao jitter!
Non ho ben capito il ragionamento, potresti spiegarti meglio?
Per esempio, se ho capito bene, $1 + x + x^2$ è invertibile in $\mathbb{Z_2[x]}$? Perché? Cosa significa $p(x)$ dispari? Intendi dire che $p(x)$ valutato in $x$(valore appartenente a $\mathbb{Z_2}$ e non incognita) è dispari?
Ciao
Risponderei che hanno per inversi se stessi:
1) i polinomi con termine noto 1 e un numero dispari di termini
2) i polinomi senza termine noto e con un numero pari di termini
Questo perché:
1) nel caso 1, se la x è dispari il valore di p(x) è dispari, e 1 x 1 = 1; se la x è pari, p(x) è ancora dispari
2) nel caso 0, se la x è dispari il valore di p(x) è dispari, e 1 x 1 = 1; se la x è pari, p(x) è ancora dispari
Non ho ben capito il ragionamento, potresti spiegarti meglio?
Per esempio, se ho capito bene, $1 + x + x^2$ è invertibile in $\mathbb{Z_2[x]}$? Perché? Cosa significa $p(x)$ dispari? Intendi dire che $p(x)$ valutato in $x$(valore appartenente a $\mathbb{Z_2}$ e non incognita) è dispari?
Ciao
"Shocker":
Per esempio, se ho capito bene, 1+x+x2 è invertibile in Z2[x]? Perché? Cosa significa p(x) dispari? Intendi dire che p(x) valutato in x(valore appartenente a Z2 e non incognita) è dispari?
ho scritto una colossale belinata: ho considerato anche la x in $Z_2$
Ciao
ho scritto una colossale belinata: ho considerato anche la x in $Z_2$[/quote]
Ed ecco l'errore
Hai considerato la valutazione del polinomio e non il polinomio
Comunque, dal fatto che presi $p, q \in \mathbb{K}[x] - {0}$ vale $\partialpq = \partialp + \partialq$(il grado si somma quando moltiplichi due polinomi) allora, se $p$ è invertibile, e detto $q$ il suo inverso, vale $pq = 1 \Rightarrow \partialpq = \partialp + \partialq = 0$, cosa impossibile se $\partialp > 0$, per cui, come minimo, deve essere $\partialp = 0$. Fatta quest'osservazione il resto segue dal fatto che $\mathbb{K}[x]$ ha un sottocampo isomorfo a $\mathbb{K}$. Analogamente se si considera $A[x]$, ma in questo caso bisogna indagare gli invertibili di $A$ e non sempre è semplice.
Fun fact: si può creare un'estensione di $\mathbb{K}[x]$ in cui ogni polinomio non nullo è invertibile, la costruzione è simile a quella che si fa per passare da $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Q}$(campo dei quozienti etc).
[ot]
Genovese?[/ot]
Ciao
"jitter":
[quote="Shocker"]Per esempio, se ho capito bene, 1+x+x2 è invertibile in Z2[x]? Perché? Cosa significa p(x) dispari? Intendi dire che p(x) valutato in x(valore appartenente a Z2 e non incognita) è dispari?
ho scritto una colossale belinata: ho considerato anche la x in $Z_2$[/quote]
Ed ecco l'errore
Hai considerato la valutazione del polinomio e non il polinomio
Comunque, dal fatto che presi $p, q \in \mathbb{K}[x] - {0}$ vale $\partialpq = \partialp + \partialq$(il grado si somma quando moltiplichi due polinomi) allora, se $p$ è invertibile, e detto $q$ il suo inverso, vale $pq = 1 \Rightarrow \partialpq = \partialp + \partialq = 0$, cosa impossibile se $\partialp > 0$, per cui, come minimo, deve essere $\partialp = 0$. Fatta quest'osservazione il resto segue dal fatto che $\mathbb{K}[x]$ ha un sottocampo isomorfo a $\mathbb{K}$. Analogamente se si considera $A[x]$, ma in questo caso bisogna indagare gli invertibili di $A$ e non sempre è semplice.
Fun fact: si può creare un'estensione di $\mathbb{K}[x]$ in cui ogni polinomio non nullo è invertibile, la costruzione è simile a quella che si fa per passare da $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Q}$(campo dei quozienti etc).
[ot]
ho scritto una colossale belinata: ho considerato anche la x in $Z_2$
Genovese?
[/ot]Ciao
Grazie mille!! Sei stato chiarissimo!
Se K non fosse campo invece? Per sapere se un elemento di K [x] è invertibile non resta che cercare un polinomio per cui il loro prodotto faccia 1 giusto? Non c'è alcuna regola come per K campo?
Se K non fosse campo invece? Per sapere se un elemento di K [x] è invertibile non resta che cercare un polinomio per cui il loro prodotto faccia 1 giusto? Non c'è alcuna regola come per K campo?
"Shocker":
Hai considerato la valutazione del polinomio e non il polinomio
Oddio, mi fai venire un dubbio vergognosissimo (fortuna che qui sono incognito
):Io avevo capito che $Z_2[x]$ è l'anello dei polinomi a coefficienti in $Z_2$, ma le $x$ potrebbero essere reali, complessi o altro.
Quindi prima avrei sbagliato anche la valutazione del polinomio, perché ho attribuito a x solo 1 e 0, come se fosse un coefficiente. Giusto?
Il resto del tuo messaggio me lo leggo domani, a mente fresca....
"Shocker":
Genovese?
di nascita e per passione (delle trenette al pesto)
"jitter":
[quote="Shocker"]Hai considerato la valutazione del polinomio e non il polinomio
Oddio, mi fai venire un dubbio vergognosissimo (fortuna che qui sono incognito
):Io avevo capito che $Z_2[x]$ è l'anello dei polinomi a coefficienti in $Z_2$, ma le $x$ potrebbero essere reali, complessi o altro.
Quindi prima avrei sbagliato anche la valutazione del polinomio, perché ho attribuito a x solo 1 e 0, come se fosse un coefficiente. Giusto?
Il resto del tuo messaggio me lo leggo domani, a mente fresca....
[/quote]
Pensavo avessi considerato queste valutazioni: $\phi_1 : \mathbb{Z_2[x]} \to \mathbb{Z_2}$ tc $\phi_1(p(x)) = p([1]_2)$ e $\phi_0:\mathbb{Z_2[x]} \to \mathbb{Z_2}$ t.c $\phi_0(p(x)) = p([0]_2)$ (che sono corrette).
Per quanto riguarda omomorfismi di valutazione del tipo $\psi:\mathbb{Z_2[x]} \to \mathbb{R}$ t.c $\psi(p(x)) = p(\sqrt(2))$: questi non possono essere fatti: $\mathbb{Z_2}$ non è un sottocampo(o sottoanello) di $\mathbb{R}$, condizione necessaria per costruire un omomorfismo di valutazione(almeno per la definizione che mi è stata data nel corso di Aritmetica). Magari però è possibile fare qualche magia per renderlo possibile ma non ho abbastanza conoscenza al riguardo. La mia preoccupazione sono le operazioni fa gli elementi di $\mathbb{Z_2}$ e $\mathbb{R}$, che non sono definite.
Anche perché in Algebra Lineare, per esempio, si considerano omomorfismi di valutazione dall'anello dei polinomi $\mathbb{K[x]} \to End(V)$(si valuta un polinomio in un endomorfismo) dove $V$ è un $\mathbb{K}-$spazio vettoriale e $(End(V), +, \circ)$ è l'anello degli endomorfismi di $V$. E certamente qui $\mathbb{K[x]}$ non è un sottoanello di $End(V)$. Per cui prendi con le pinze quest'ultima parte di messaggio.
"Diseee":
Grazie mille!! Sei stato chiarissimo!
Se K non fosse campo invece? Per sapere se un elemento di K [x] è invertibile non resta che cercare un polinomio per cui il loro prodotto faccia 1 giusto? Non c'è alcuna regola come per K campo?
Se $\mathbb{K}$ è un campo allora gli invertibili di $\mathbb{K}[x]$ sono tutte e sole le costanti non nulle, il perché l'ho scritto nel messaggio precedente
Se $\mathbb{K}$ è un dominio di integrità allora gli invertibili di $\mathbb{K}[x]$ sono le costanti invertibili di $\mathbb{K}$
Se invece $\mathbb{K}$ non è un dominio di integrità beh, qui possono esserci effettivamente polinomi di grado maggiore di $0$ che hanno inverso, qui non so dove mettere mano, proverò a studiare questo caso in settimana
Ciao!
Grazie!
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