Inversi

[Dankorw]

Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano nella risoluzione di questo esercizio:

$ bar(-563) *bar(x) = bar(-908) in Z100 $

Grazie in anticipo

[Gi81]

Idee tue? Non riesco a credere che non sai nemmeno fare il primo passaggio

[Dankorw]

No in realtà ho provato a farlo, come prima cosa ho scritto l'equazione in questo modo :

$ -563*x = -908 (mod 100) $

A questo punto moltiplico per -1 e scrivo l'equazione in modulo 100:

$ 63*x = 8 (mod 100) $

Da questo punto in poi, ammesso che sia giusto, vorrei cercare di ottenere qualcosa del tipo x = a (mod n), per poi trovare un elemento in Z100 per il quale valga l'uguaglianza.

[Gi81]

Fin qui è corretto. Ora bisognerebbe trovare l'inverso di $63$ in $ZZ_{100}$ (che esiste, perchè $63$ e $100$ sono coprimi).
Se riesci a trovarlo in modo poco "contoso", allora sei a posto.

Io ho ragionato così: $63= -37 (mod 100)$.
Quindi $37*3=111$, quindi $37*27=(37*3)*9=111*9=999$...

[Dankorw]

Quindi se ho capito bene, cerco di "trasformare" il 63 in 1 per poter avere esplicitamente l'equazione nella forma x=n , così trovo per quale x esiste l'inverso.

Quindi una volta arrivati ad avere l'equazione :

$ 999 x -= -216 (mod 100) $

Cioè:

$ x -= 16 (mod 100) $

A questo punto il mio inverso è 16.

[Gi81]

Sì, ok. Solo una cosa: $16$ non è l'inverso, è la soluzione dell'equazione di partenza.

Infatti $-563*16= -9008-= -908 (mod 100)$

[Dankorw]

Ah già è vero, mi sono confuso con la soluzione di un altro esercizio. Grazie mille per la disponibilità