Inversa matrice 5x5 in Z7
Buongiorno a tutti,
ho dei dubbi sulla risoluzione di un esercizio:
Bene, allora una matrice è invertibile quando esiste un'altra matrice tale che il prodotto delle due sia uguale alla matrice identica ed è invertibile se il suo determinante è diverso da zero.
Il calcolo del determinante della matrice lo farei con la regola di Sarrus anche se è una procedura lunga (ma se qualcuno mi sa dire un metodo più rapido è bene accetto
)
La mia domanda è: come faccio a trovare l'inversa? c'è un metodo da applicare? eventualmente il codivisore destro di zero cos'è?
grazie mille a tutti
ho dei dubbi sulla risoluzione di un esercizio:
Assegnata la matrice
$ ( ( 1 , 0 , 3 , 0 , 5 ),( 2 , 4 , 0 , 4 , 6 ),( 1 , 0 , 4 , 0 , 6 ),( 1 , 0 , 2 , 4 , 3 ),( 5 , 4 , 4 , 1 , 1 ) ) in M_(5)(ZZ_(7)), $
determinare se essa è invertibile o meno. Coerentemente con la risposta data, esibire
l’inversa della matrice o un suo codivisore (destro) di zero.
Bene, allora una matrice è invertibile quando esiste un'altra matrice tale che il prodotto delle due sia uguale alla matrice identica ed è invertibile se il suo determinante è diverso da zero.
Il calcolo del determinante della matrice lo farei con la regola di Sarrus anche se è una procedura lunga (ma se qualcuno mi sa dire un metodo più rapido è bene accetto
) La mia domanda è: come faccio a trovare l'inversa? c'è un metodo da applicare? eventualmente il codivisore destro di zero cos'è?
grazie mille a tutti
Risposte
Piccola correzione: il metodo per il calcolo del determinante è il metodo di Laplace.
Calcolando il determinante della matrice ottengo -252 che in $Z_7=0$ quindi se il determinante è 0 a questo punto posso concludere che non è invertibile. Giusto?
Calcolando il determinante della matrice ottengo -252 che in $Z_7=0$ quindi se il determinante è 0 a questo punto posso concludere che non è invertibile. Giusto?
@duombo,
per il determinante può applicare Laplace rispetto alla seconda colonna, se stai attento hai tre elementi della seconda colonna nulli e due non nulli e potresti semplificarti i calcoli, se il determinante è diverso dallo \( 0_{\Bbb{Z}_7}\) allora dalla teoria la matrice è invertibile (in caso contrario non lo è) e l'inversa puoi calcolarla dalla trasposta della matrice dei cofattori..!! Saluti
"duombo":
Buongiorno a tutti,
ho dei dubbi sulla risoluzione di un esercizio:
Assegnata la matrice
$ ( ( 1 , 0 , 3 , 0 , 5 ),( 2 , 4 , 0 , 4 , 6 ),( 1 , 0 , 4 , 0 , 6 ),( 1 , 0 , 2 , 4 , 3 ),( 5 , 4 , 4 , 1 , 1 ) ) in M_(5)(ZZ_(7)), $
determinare se essa è invertibile o meno. Coerentemente con la risposta data, esibire
l’inversa della matrice o un suo codivisore (destro) di zero.
Bene, allora una matrice è invertibile quando esiste un'altra matrice tale che il prodotto delle due sia uguale alla matrice identica ed è invertibile se il suo determinante è diverso da zero.
Il calcolo del determinante della matrice lo farei con la regola di Sarrus anche se è una procedura lunga (ma se qualcuno mi sa dire un metodo più rapido è bene accetto
La mia domanda è: come faccio a trovare l'inversa? c'è un metodo da applicare? eventualmente il codivisore destro di zero cos'è?
grazie mille a tutti
per il determinante può applicare Laplace rispetto alla seconda colonna, se stai attento hai tre elementi della seconda colonna nulli e due non nulli e potresti semplificarti i calcoli, se il determinante è diverso dallo \( 0_{\Bbb{Z}_7}\) allora dalla teoria la matrice è invertibile (in caso contrario non lo è) e l'inversa puoi calcolarla dalla trasposta della matrice dei cofattori..!! Saluti
Grazie mille garnak.olegovitc
per quanto riguarda, invece, il codivisore (destro) dello zero, sempre dalla teoria noto che
nella mia matrice non ci sono elementi che moltiplicati diano $0_(Z_7)$ posso quindi concludere che non c'è nemmeno un divisore di 0 ?
per quanto riguarda, invece, il codivisore (destro) dello zero, sempre dalla teoria noto che
Sia $R$ un anello. Un elemento $a ∈ R$ si dice un divisore di zero sinistro se $a != 0$ e se esiste $b ∈ R$ con $b != 0$ e ab = 0. L’elemento $a ∈ R$ si dice un divisore di zero destro se $a != 0 $ e se esiste $b ∈ R$ con $b != 0$ e $ba = 0$. L’elemento $a ∈ R$ si dice un divisore di zero se è un divisore di zero sia destro che sinistro.
nella mia matrice non ci sono elementi che moltiplicati diano $0_(Z_7)$ posso quindi concludere che non c'è nemmeno un divisore di 0 ?
"garnak.olegovitc":
l'inversa puoi calcolarla dalla trasposta della matrice dei cofattori
Oppure a mano visto che sei su un campo con una cardinalità microscopica, ti tieni a fianco una tabella con gli elementi inversi in \(\mathbb{Z}_7\) e, quando la matrice è invertibile, dovresti riuscire a calcolare l'inversa anche di una \( 5 \times 5 \) in due minuti scarsi.
"duombo":
nella mia matrice non ci sono elementi che moltiplicati diano $0_(Z_7)$ posso quindi concludere che non c'è nemmeno un divisore di 0 ?
Attento, ti si chiede di trovare un codivisore dello zero della tua matrice, nell'anello delle matrici \( 5 \times 5 \) a coefficienti in \( \mathbb{Z}_7 \), devi trovare il codivisore dello zero di questo anello rispetto alla matrice data (ergo devi trovare un'altra matrice), non ai suoi singoli elementi. Ricorda che \( \mathbb{Z}_7 \) è un campo (quindi a fortiori un dominio), non contiene divisori dello zero non nulli, su elementi di \( \mathbb{Z}_7 \) la richiesta avrebbe poco senso.
@Epimenide93,
Oppure a mano visto che sei su un campo con una cardinalità microscopica, ti tieni a fianco una tabella con gli elementi inversi in \(\mathbb{Z}_7\) e, quando la matrice è invertibile, dovresti riuscire a calcolare l'inversa anche di una \( 5 \times 5 \) in due minuti scarsi.
[/quote] hai ragione
... ma non amo usare l'algoritmo di Gauss-Jordan in generale 
"Epimenide93":
[quote="garnak.olegovitc"]l'inversa puoi calcolarla dalla trasposta della matrice dei cofattori
Oppure a mano visto che sei su un campo con una cardinalità microscopica, ti tieni a fianco una tabella con gli elementi inversi in \(\mathbb{Z}_7\) e, quando la matrice è invertibile, dovresti riuscire a calcolare l'inversa anche di una \( 5 \times 5 \) in due minuti scarsi.
[/quote] hai ragione
... ma non amo usare l'algoritmo di Gauss-Jordan in generale
"garnak.olegovitc":
non amo usare l'algoritmo di Gauss-Jordan in generale
[ot]Algoritmo?
Io sono un romantico, vado ad occhio 
[/ot]
"Epimenide93":
Attento, ti si chiede di trovare un codivisore dello zero della tua matrice, nell'anello delle matrici \( 5 \times 5 \) a coefficienti in \( \mathbb{Z}_7 \), devi trovare il codivisore dello zero di questo anello rispetto alla matrice data (ergo devi trovare un'altra matrice), non ai suoi singoli elementi. Ricorda che \( \mathbb{Z}_7 \) è un campo (quindi a fortiori un dominio), non contiene divisori dello zero non nulli, su elementi di \( \mathbb{Z}_7 \) la richiesta avrebbe poco senso.
ok, tutto chiaro, ma ora mi hai messo in crisi: come si trova questa matrice? non ho proprio idea di come procedere
Beh, non mi vengono in mente furbizie particolari, direi che devi fare un po' di conti. Chiamo \( A \) la tua matrice e \( B \) quella incognita. \(AB\) dev'essere \( \mathcal{O} \) (lo zero dell'anello), ovvero tutti i suoi elementi devono essere zero, ma tu gli elementi di \(AB\) sai come sono fatti, (tenendo in \(B\) coefficienti incogniti). Prova ad impostare le cose, dovrebbero venirti fuori cinque sistemi \(5 \times 5\) (abbastanza semplici).
come si trova questa matrice?
Non conosco la nozione di codivisore di zero. Google trova soltanto 1 pagina
con questa parola usata in un senso matematico. All'universita' di Bari.
Secondo questa pagina la matrice cercata, diciamo $B$, deve avere
la proprieta’ che non e' nulla e che le sue colonne stanno nel nucleo $K$
dell'applicazione $x\mapsto Ax$. La matrice $B$ non e' quindi unica.
Quindi, prima va calcolato $K$. Mi pare che $K$ abbia dimensione $1$.
Diciamo che $v$ genera $K$. Allora ogni matrice $B$ con colonne che sono
multipli di $v$, puo’ andare. Basta che non tutte le colonne sono nulle.
Ha ragione Stickelberger, se fai come ho detto io ti ritrovi $5$ sistemi equivalenti con il nucleo della tua matrice $A$ come spazio delle soluzioni, chiaramente ne basta uno.
"Stickelberger":
Non conosco la nozione di codivisore di zero. Google trova soltanto 1 pagina
con questa parola usata in un senso matematico. All'universita' di Bari.
Secondo questa pagina la matrice cercata, diciamo $B$, deve avere
la proprieta’ che non e' nulla e che le sue colonne stanno nel nucleo $K$
dell'applicazione $x\mapsto Ax$. La matrice $B$ non e' quindi unica.
Quindi, prima va calcolato $K$. Mi pare che $K$ abbia dimensione $1$.
Diciamo che $v$ genera $K$. Allora ogni matrice $B$ con colonne che sono
multipli di $v$, puo’ andare. Basta che non tutte le colonne sono nulle.
e quello che hai trovato dell'univ di Bari è proprio la dispensa del mio prof.
solo che non ho capito come si potrebbe risolvere, mi faresti la gentilezza di esplicitare tutti i calcoli?
l'unica cosa da calcolare e' il nucleo dell'applicazione $x\mapsto Ax$.
Questo e' un calcolo standard. Basta leggere qualche pagina di un libro
introduttivo di algebra lineare.
Questo e' un calcolo standard. Basta leggere qualche pagina di un libro
introduttivo di algebra lineare.
ok allora ci provo, non appena posso posto la soluzione e grazie ancora
e grazie ancora
Provo ad azzardare:
per il calcolo del nucleo dell'applicazione devo trovare la soluzione al sistema di 5 equazioni in cui i coefficienti di $x,y,z,t,k$ sono i valori della matrice, giusto?
in pratica devo risolvere il sistema
${ ( 1x+ 0y +3z + 0t + 5k =0),( 2x+4y+0z+4t+6k=0 ),( 1x+0y+4z+0k+6t=0 ),( 1x+0y+2z+4k+3t=0 ),( 5x+4y+4z+1k+1t =0):}$
esatto?
per il calcolo del nucleo dell'applicazione devo trovare la soluzione al sistema di 5 equazioni in cui i coefficienti di $x,y,z,t,k$ sono i valori della matrice, giusto?
in pratica devo risolvere il sistema
${ ( 1x+ 0y +3z + 0t + 5k =0),( 2x+4y+0z+4t+6k=0 ),( 1x+0y+4z+0k+6t=0 ),( 1x+0y+2z+4k+3t=0 ),( 5x+4y+4z+1k+1t =0):}$
esatto?
Azzardo una risposta: (sono nella stessa situazione di duombo, purtroppo)
Dalla definizione abbiamo
Se a ∈ Mn(F), allora
• a = 0n se rk(a) = 0
• a è invertibile se rk(a) = n
• a è un divisore di zero se 0 < rk(a) < n.
Quindi ci troviamo nel terzo caso. Il rango è 4.
Probabilmente il co-divisore di zero (destro) sarà il prodotto della matrice per quella di rango 4.
Dalla definizione abbiamo
Se a ∈ Mn(F), allora
• a = 0n se rk(a) = 0
• a è invertibile se rk(a) = n
• a è un divisore di zero se 0 < rk(a) < n.
Quindi ci troviamo nel terzo caso. Il rango è 4.
Probabilmente il co-divisore di zero (destro) sarà il prodotto della matrice per quella di rango 4.
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