Inversa di una matrice triangolare
scusate c'è oltre al metodo standard dei coeffieceti algebrici, un modo fast per ricavarsi l'inversa di una matrice triangolare?
thanks.
Altrimenti al compito non affitto più
thanks.
Altrimenti al compito non affitto più
Risposte
Ciao cherettina 
Penso che questo possa essere un buon metodo:
http://math.stackexchange.com/questions ... triangular
Traducendo:
Una matrice triangolare superiore può essere scritta nella forma [tex]T = D(I+N)[/tex] dove [tex]D[/tex] è diagonale e facilmente invertibile e [tex]N[/tex] è una matrice nilpotente. Una matrice nilpotente è tale che [tex]N^n = 0[/tex] per qualche [tex]N[/tex]. E sapendo che [tex](I+N)^{-1} = I - N + N^2 - N^3\dots[/tex] si ricava che [tex](I-N+N^2-\dots+(-1)^{n-1}N^{n-1})D^{-1} = T^{-1}[/tex].
Ma probabilmente anche usando i cofattori si può fare in fretta dato la velocità che ci metti a calcolare il suo determinante. Ogni minore alla fine sarà una matrice triangolare.
Puoi inoltre sfogliare http://www.mcs.csueastbay.edu/~malek/TeX/Triangle.pdf
Per il caso 2x2 per esempio...
$((a_11,a_12),(0,a_22)) = ((a_11,0),(0,a_22))(I+N)$
$(I+N) = ((1,a_11^{-1}a_12),(0,1)) = I + ((0,a_11^{-1}a_12),(0,0))$
Infatti $N^2 = 0$ e quindi $T^{-1} = (I-N)D^{-1} = ((1,- a_11^{-1}a_12),(0,1))((a_11^{-1},0),(0,a_22^{-1})) = ((a_11^{-1},- a_11^{-1}a_12a_22^{-1}),(0,a_22^{-1}))$
Siccome $T^{-1} = 1/det(T) ((a_22,-a_12),(0,a_11)) = ((a_22/(a_11a_22),-a_12/(a_11a_22)),(0,a_11/(a_11a_22))) = ((1/(a_11),-a_12/(a_11a_22)),(0,1/(a_22)))$ posso dire che il metodo ha funzionato...
Nel caso 3 mi viene da un calcolo veloce $I+N = ((1,a_11^{-1}a_12,a_11^{-1}a_13),(0,1,a_22^{-1}a_23),(0,0,1))$. Ma qui N ha già $N^3 = 0$ e quindi $T^{-1} = (I-N+N^2)D^{-1}$.
Se vuoi puoi farti i calcoli.
Penso che questo possa essere un buon metodo:
http://math.stackexchange.com/questions ... triangular
Traducendo:
Una matrice triangolare superiore può essere scritta nella forma [tex]T = D(I+N)[/tex] dove [tex]D[/tex] è diagonale e facilmente invertibile e [tex]N[/tex] è una matrice nilpotente. Una matrice nilpotente è tale che [tex]N^n = 0[/tex] per qualche [tex]N[/tex]. E sapendo che [tex](I+N)^{-1} = I - N + N^2 - N^3\dots[/tex] si ricava che [tex](I-N+N^2-\dots+(-1)^{n-1}N^{n-1})D^{-1} = T^{-1}[/tex].
Ma probabilmente anche usando i cofattori si può fare in fretta dato la velocità che ci metti a calcolare il suo determinante. Ogni minore alla fine sarà una matrice triangolare.
Puoi inoltre sfogliare http://www.mcs.csueastbay.edu/~malek/TeX/Triangle.pdf
Per il caso 2x2 per esempio...
$((a_11,a_12),(0,a_22)) = ((a_11,0),(0,a_22))(I+N)$
$(I+N) = ((1,a_11^{-1}a_12),(0,1)) = I + ((0,a_11^{-1}a_12),(0,0))$
Infatti $N^2 = 0$ e quindi $T^{-1} = (I-N)D^{-1} = ((1,- a_11^{-1}a_12),(0,1))((a_11^{-1},0),(0,a_22^{-1})) = ((a_11^{-1},- a_11^{-1}a_12a_22^{-1}),(0,a_22^{-1}))$
Siccome $T^{-1} = 1/det(T) ((a_22,-a_12),(0,a_11)) = ((a_22/(a_11a_22),-a_12/(a_11a_22)),(0,a_11/(a_11a_22))) = ((1/(a_11),-a_12/(a_11a_22)),(0,1/(a_22)))$ posso dire che il metodo ha funzionato...
Nel caso 3 mi viene da un calcolo veloce $I+N = ((1,a_11^{-1}a_12,a_11^{-1}a_13),(0,1,a_22^{-1}a_23),(0,0,1))$. Ma qui N ha già $N^3 = 0$ e quindi $T^{-1} = (I-N+N^2)D^{-1}$.
Se vuoi puoi farti i calcoli.
Sono proprio una privilegiata 
a me serviva una triangolare inf ora che ci pernso
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