Intorno ad una scoperta di Fermat
Premessa fondamentale: non possiedo alcuna nozione particolare di Teoria dei numeri; quindi, ve ne prego, siate clementi.
Nel capitolo dedicato a Pierre de Fermat del libro I grandi matematici di Eric T. Bell è presente un'affermazione dell'autore che ha catturato la mia attenzione. Cito testualmente:
Volendo quindi mettere alla prova la mia capacità, invece che coricarmi come avrebbe imposto la consuetudine, ho piantato gli occhi nel soffitto ed ho cominciato a rimuginare.
Ho pensato di scindere il problema in due casi, e di considerare solo i [tex]$p>2$[/tex]:
1° caso: [tex]$n$[/tex] pari;
2° caso: [tex]$n$[/tex] dispari.
1° caso: dimostrare che [tex]$n^{p}-n=n(n^{p-1}-1)$[/tex] è divisibile per [tex]$p$[/tex] equivale in sostanza a dimostrare che [tex]$n^{p-1}-1$[/tex] è divisibile per [tex]$p$[/tex] (infatti [tex]$n$[/tex] non è divisibile per [tex]$p$[/tex], a meno che [tex]$n=2kp$[/tex]; qualora si verificasse quest'ultima condizione, sarebbe automaticamente verificato l'assunto); senz'altro [tex]$n^{p-1}-1$[/tex] è dispari perché [tex]$n^{p-1}$[/tex] è pari. Ora rimane però da dimostrare che [tex]$n^{p-1}-1$[/tex] può essere scritto come [tex]$kp$[/tex], con [tex]$1\le k$[/tex] e [tex]$k \in \mathbb{N}[/tex], e non saprei come muovermi.
2°caso: ho una vaga idea di come poter procedere, ma preferirei prima ottenere una conferma circa la corretta o meno modalità di ragionamento.
Grazie a tutti in anticipo.
Nel capitolo dedicato a Pierre de Fermat del libro I grandi matematici di Eric T. Bell è presente un'affermazione dell'autore che ha catturato la mia attenzione. Cito testualmente:
[...] Se [tex]$n$[/tex] è un numero intero e [tex]$p$[/tex] un numero primo, [tex]$n^{p}-n$[/tex] è divisibile per [tex]$p$[/tex]. [...] Secondo la sua abitudine, Fermat ha enunciato il suo teorema concernente [tex]$n^{p}-n$[/tex] senza darne la dimostrazione. [...] Il lettore può provare la sua capacità cercando di trovarne una da sé. [...]
Volendo quindi mettere alla prova la mia capacità, invece che coricarmi come avrebbe imposto la consuetudine, ho piantato gli occhi nel soffitto ed ho cominciato a rimuginare.
Ho pensato di scindere il problema in due casi, e di considerare solo i [tex]$p>2$[/tex]:
1° caso: [tex]$n$[/tex] pari;
2° caso: [tex]$n$[/tex] dispari.
1° caso: dimostrare che [tex]$n^{p}-n=n(n^{p-1}-1)$[/tex] è divisibile per [tex]$p$[/tex] equivale in sostanza a dimostrare che [tex]$n^{p-1}-1$[/tex] è divisibile per [tex]$p$[/tex] (infatti [tex]$n$[/tex] non è divisibile per [tex]$p$[/tex], a meno che [tex]$n=2kp$[/tex]; qualora si verificasse quest'ultima condizione, sarebbe automaticamente verificato l'assunto); senz'altro [tex]$n^{p-1}-1$[/tex] è dispari perché [tex]$n^{p-1}$[/tex] è pari. Ora rimane però da dimostrare che [tex]$n^{p-1}-1$[/tex] può essere scritto come [tex]$kp$[/tex], con [tex]$1\le k$[/tex] e [tex]$k \in \mathbb{N}[/tex], e non saprei come muovermi.
2°caso: ho una vaga idea di come poter procedere, ma preferirei prima ottenere una conferma circa la corretta o meno modalità di ragionamento.
Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
Si tratta del cosiddetto Piccolo teorema di Fermat.
Personalmente lo dimostro usando anelli quoziente (per la precisione [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex]), ma credo si dimostri abbastanza bene per induzione usando il binomio di Newton.
Vedi ad esempio http://it.wikipedia.org/wiki/Dimostrazioni_del_piccolo_teorema_di_Fermat per una dimostrazione abbastanza semplice.
Personalmente lo dimostro usando anelli quoziente (per la precisione [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex]), ma credo si dimostri abbastanza bene per induzione usando il binomio di Newton.
Vedi ad esempio http://it.wikipedia.org/wiki/Dimostrazioni_del_piccolo_teorema_di_Fermat per una dimostrazione abbastanza semplice.
Interessante, anch'io nell'ultimo argomento che ho postato è venuto fuori il suddetto teorema, ed ho notato che è dimostrabile studiando il gruppo moltiplicativo $U_p$ degli interi modulo $p$.
A me sembrano considerazioni giuste quelle che hai fatto. Però osservare che $n^(p-1) - 1$ è dispari non è rilevante se poi non riesci a dimostrare che è divisibile per $p$ (che è quello che ti serve).
"francicko":
Interessante, anch'io nell'ultimo argomento che ho postato è venuto fuori il suddetto teorema, ed ho notato che è dimostrabile studiando il gruppo moltiplicativo $U_p$ degli interi modulo $p$.
Il bello di questi teoremini di teoria dei numeri è proprio che si dimostrano in molti modi diversi, usando strumenti sia semplici che avanzati.
"francicko":
Interessante, anch'io nell'ultimo argomento che ho postato è venuto fuori il suddetto teorema, ed ho notato che è dimostrabile studiando il gruppo moltiplicativo $U_p$ degli interi modulo $p$.
"Richard_Dedekind":
Si tratta del cosiddetto Piccolo teorema di Fermat.
Personalmente lo dimostro usando anelli quoziente (per la precisione [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex]), ma credo si dimostri abbastanza bene per induzione usando il binomio di Newton.
Vedi ad esempio http://it.wikipedia.org/wiki/Dimostrazioni_del_piccolo_teorema_di_Fermat per una dimostrazione abbastanza semplice.
Purtroppo non conosco l'aritmetica modulare e nemmeno la teoria che supporta le dimostrazioni di cui fate menzione.
Ci ho pensato ancora un po', ma con ragionamenti in linea con quanto esposto sopra non riesco a cavare un ragno dal buco. Riesco soltanto banalmente a dedurre che se esiste, [tex]$k$[/tex] dev'essere dispari, ma non pervengo alla prova della sua effettiva esistenza.
Grazie a tutti per le risposte.
Invece penso sia possibile, ma col notevole sforzo di ridurre tutte le relazioni di congruenza a relazioni di divisibilità. E ciò a volte non per nulla semplice da vedere.
Ok, terrò a mente i suggerimenti per i tempi a venire, quando le mie conoscenze saranno (spero) più approfondite.
Grazie a tutti.
Grazie a tutti.
Forse sto dicendo una stupidaggine colossale, ma non capisco perché Delirium esclude che [tex]n[/tex] possa essere divisibile per [tex]p[/tex] nel caso [tex]n[/tex] pari... e se prendiamo [tex]n=2p[/tex]? In fondo [tex]n[/tex] è un intero qualunque, no?
"Lemniscata":
Forse sto dicendo una stupidaggine colossale, ma non capisco perché Delirium esclude che [tex]n[/tex] possa essere divisibile per [tex]p[/tex] nel caso [tex]n[/tex] pari... e se prendiamo [tex]n=2p[/tex]? In fondo [tex]n[/tex] è un intero qualunque, no?
Hai ragione, ho scritto una castronata colossale. Correggo subito.
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