Intervalli

[DR1]

Come si dimostra che ${ x in RR : x <= c }$ con $c$ prefissato numero reale è un intervallo, usando $ AA a, b in I , a < r < b rArr r in I $ ?

[Gi81]

FIsso $c in NN$, e considero l'insieme $I_c = {x in RR | x<=c}$.
Certamente $I_c sube RR$ e $I_c != \emptyset$ (ad esempio $-1 in I_c$).

Prendo $a,b in I_c$ con $a Dunque $a

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[DR1]

Continuo a non capire

[Gi81]

Qual è la condizione affinchè $r$ appartenga a $I_c$?

[DR1]

Affinchè \( r \) appartenga a \( I_c \)
$ x < r <= c $... quindi ?

[Gi81]

No. La condizione affinchè $r$ appartenga a $I_c$ è $r<=c$.

Siccome $r$ è compreso tra $a$ e $b$, certamente $r Quindi abbiamo $r

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[Maci86]

Provo a darti una soluzione ancora più facile da assimilare, considero questi intervalli:
\(r\in I_c \Rightarrow r\in (r-1,c) \Rightarrow r-1≤r≤c\)
Facciamo l'unione di tutti gli intervalli \((r-1,c)\) al variare di \(r\in I_c\) e abbiamo:
\( r \in I_c \Rightarrow r \in(-\inf,c]\)

[DR1]

Per dimostrare che $I = { x in RR : x <= c } $ è un intervallo devo provare che $AA x , c $ $EE r in I : x < r <= c $ come faccio ?

[Maci86]

Bene, ora ho capito cosa chiedi:
Definisci $r$ in questo modo: $r=(x+c)/2$
$x≤c Rightarrow (x+c)/2≤c Rightarrow r≤c$
Inoltre:
$x≤c Rightarrow (x+c)/2≥x Rightarrow r≥x$
Quindi $x≤r≤c$.

[DR1]

Ci avevo pensato, ma se definisco $r = (x+c)/2 $ se $ c = 1$ e $ x = -1$ $r = (-1+1)/2$ , cioè $ r = 0$, quindi il punto medio sembrerebbe non andare

[Maci86]

E perché mai non va bene che $r= 0$?

[DR1]

[DR1]

"Maci86":Bene, ora ho capito cosa chiedi:
Definisci $ r $ in questo modo: $ r=(x+c)/2 $
$ x≤c Rightarrow (x+c)/2≤c Rightarrow r≤c $
Inoltre:
$ x≤c Rightarrow (x+c)/2≥x Rightarrow r≥x $
Quindi $ x≤r≤c $.

e come dimostro che vale $AA x, c $ ?

[Maci86]

Così:
$x,c in RR,$ $ xx Rightarrow x<(x+c)/2 Quando non specifichi le condizioni con cui scegli $x,c$ in $RR$ allora vale per tutti, nel nostro caso, senza perdere di generalità, prendiamo $x

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[Gi81]

"DR1":Per dimostrare che $I = { x in RR : x <= c } $ è un intervallo devo provare che $AA x , c $ $EE r in I : x < r <= c $ come faccio ?

Però c'è qualcosa che non va: $c$ è un numero reale fissato. Che senso ha scrivere nella formula $AAx,c$?

[Maci86]

Ah, me lo chiedevo anche io! Allora non son l'unico a cui sembrava stupida quella richiesta..