Intersezione famiglia insiemi finiti
Salve, ho una domandina facile facile da fare...
Sia ${A_i}_{i \in I}$ una famiglia non vuota di insiemi finiti non vuoti tali che $\bigcap_{i \in I} A_i = \emptyset$. Potrebbe essere vero che esiste sempre una sottofamiglia finita la cui intersezione è vuota, ovvero che esistano $i_1,i_2,...,i_n$ tali che $A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_n}= \emptyset$ ??
Magari è una sciocchezza, mi è venuta così ... solo che non riesco a trovare un controesempio...
Sia ${A_i}_{i \in I}$ una famiglia non vuota di insiemi finiti non vuoti tali che $\bigcap_{i \in I} A_i = \emptyset$. Potrebbe essere vero che esiste sempre una sottofamiglia finita la cui intersezione è vuota, ovvero che esistano $i_1,i_2,...,i_n$ tali che $A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_n}= \emptyset$ ??
Magari è una sciocchezza, mi è venuta così ... solo che non riesco a trovare un controesempio...
Risposte
Ovviamente no. Quella è una proprietà di "compattezza". Un controesempio facile facile: prendi [tex]I = \mathbb N[/tex] e per ogni [tex]n \in \mathbb N[/tex], considera [tex]A_n = [n,+\infty) \subset \mathbb R[/tex]; questo è il tuo controesempio.
Osserva, che [tex]\mathbb R[/tex] non è compatto e che gli [tex]A_n[/tex] sono chiusi di [tex]\mathbb R[/tex]. Queste cose sono legate dal fatto che la proprietà dell'intersezione finita sui chiusi di uno spazio topologico è equivalente alla compattezza dello stesso.
Ovviamente la tua domanda è valida in un contesto più generale degli spazi topologici, ma mi sembrava giusto sottolineare questo importante corrispettivo.
Osserva, che [tex]\mathbb R[/tex] non è compatto e che gli [tex]A_n[/tex] sono chiusi di [tex]\mathbb R[/tex]. Queste cose sono legate dal fatto che la proprietà dell'intersezione finita sui chiusi di uno spazio topologico è equivalente alla compattezza dello stesso.
Ovviamente la tua domanda è valida in un contesto più generale degli spazi topologici, ma mi sembrava giusto sottolineare questo importante corrispettivo.
"maurer":
considera [tex]A_n = [n,+\infty) \subset \mathbb R[/tex]; questo è il tuo controesempio.
Ho detto $A_n$ finito...
"perplesso":Sì. Fissa un indice [tex]i[/tex]. Siccome [tex]\bigcap_j A_j = \emptyset[/tex], per ogni [tex]a \in A_i[/tex] esiste [tex]j=j(a)[/tex] tale che [tex]a \not \in A_{j(a)}[/tex], per cui
Sia ${A_i}_{i \in I}$ una famiglia non vuota di insiemi finiti non vuoti tali che $\bigcap_{i \in I} A_i = \emptyset$. Potrebbe essere vero che esiste sempre una sottofamiglia finita la cui intersezione è vuota, ovvero che esistano $i_1,i_2,...,i_n$ tali che $A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_n}= \emptyset$ ??
\[
A_i \cap \bigcap_{a \in A_i} A_{j(a)} = \emptyset
\]
Maurer parlava del caso generale in cui gli [tex]A_i[/tex] non sono necessariamente finiti.
Ora ho capito, grazie mille ad entrambi. 
Sì, scusa. Ho letto di fretta.
Un modo più "con i cannoni" per risolvere il tuo caso: se tutti gli [tex]A_i \subset S[/tex] sono finiti, metti su [tex]S[/tex] la topologia discreta. La tua intersezione è contenuta in [tex]A_i[/tex] (per i fissato), quindi siccome [tex]A_i[/tex] è compatto, la tesi segue da quello che dicevo io prima.
E' sostanzialmente uguale a quello fatto da Martino, bada bene. Solo, usando tecniche più "avanzate", compaiono meno indici!
Un modo più "con i cannoni" per risolvere il tuo caso: se tutti gli [tex]A_i \subset S[/tex] sono finiti, metti su [tex]S[/tex] la topologia discreta. La tua intersezione è contenuta in [tex]A_i[/tex] (per i fissato), quindi siccome [tex]A_i[/tex] è compatto, la tesi segue da quello che dicevo io prima.
E' sostanzialmente uguale a quello fatto da Martino, bada bene. Solo, usando tecniche più "avanzate", compaiono meno indici!
Grazie maurer, non mi era ancora passato per la testa che la topologia si potesse applicare anche per risolvere problemi di natura insiemistica. Mi si è aperto un mondo (da esplorare )
)
Io so che la topologia ha anche applicazioni in economia, e ti posso assicurare che ha applicazioni anche in chimica (dopo essermi confrontato con \(4\) chimici di distinti rami) 
Ci aggiungo solo per informazione, che esistono i teoremi di compattezza in logica matematica; i quali, come detto dal mio prof. di logica, non sono per nulla disgiunti dal concetto topologico di compattezza!
Questi sono solo esempi inattesi di applicazioni della topologia... chissà quanti altri ce ne sono.
Ci aggiungo solo per informazione, che esistono i teoremi di compattezza in logica matematica; i quali, come detto dal mio prof. di logica, non sono per nulla disgiunti dal concetto topologico di compattezza!
Questi sono solo esempi inattesi di applicazioni della topologia... chissà quanti altri ce ne sono.
"j18eos":
Questi sono solo esempi inattesi di applicazioni della topologia... chissà quanti altri ce ne sono.
alcuni teoremi si applicano anche in alcune semantiche particoli in Informatica teorica
Non immaginavo ci fossero tante alternative. Io credevo che dopo la topologia generale ci fossero solo due strade, la topologia algebrica e quella applicata all'analisi matematica. Apprendo con piacere che invece è un settore molto vasto.
Raramente troverai settori della matematica "a se stanti"...
"maurer":Ma perché esistono?
Raramente troverai settori della matematica "a se stanti"...
In tutti questi anni di studi e letture, non ne ho incontrati! Forse mi evitano?
Può darsi di no... nemmeno io sono mai riuscito ad incontrare queste entità mitologiche... Comunque chissà...
La mia sensibilità mi dice però che la geometria sintetica è "a se stante". Non sono mai riuscito a trovare un utilizzo sensato e non sono mai riuscito a conciliarla con la geometria differenziale (ed il programma di Erlangen). Riesci a spiegare il suo ruolo nel panorama della matematica moderna?
La mia sensibilità mi dice però che la geometria sintetica è "a se stante". Non sono mai riuscito a trovare un utilizzo sensato e non sono mai riuscito a conciliarla con la geometria differenziale (ed il programma di Erlangen). Riesci a spiegare il suo ruolo nel panorama della matematica moderna?
Sperando di non scrivere castonerie: ma la geometria sintetica, ovvero la geometria esposta nel Grundlagen der Geometrie, non è altri che un linguaggio del I ordine un cui modello comprendente il postulato "delle parallele" è costituito dal piano affine reale?
Comunque sia, vorrei aprire un thread nella sezione generale se il discorso ti stimola!
Comunque sia, vorrei aprire un thread nella sezione generale se il discorso ti stimola!
Questo risponde alla domanda "che cos'è la geometria sintetica" (e sono d'accordo al 100% con quello che dici tu). Ma non risponde alla domanda: "ha interazioni sensate con il resto della matematica"? Comunque, sì, è un discorso che mi interessa.
Cade a pennello!
http://en.wikipedia.org/wiki/Furstenber ... _of_primes
Sta diventando talmente famosa che io ce l'avevo addirittura sulle dispense di topologia (ora libro pubblicato dalla Springer) del mio professore (Mannetti, La Sapienza).
http://en.wikipedia.org/wiki/Furstenber ... _of_primes
Sta diventando talmente famosa che io ce l'avevo addirittura sulle dispense di topologia (ora libro pubblicato dalla Springer) del mio professore (Mannetti, La Sapienza).
Qui qualche dettaglio in più, compresa la dimostrazione esplicita del fatto che la topologia considerata è metrizzabile.
Grazie per il link.
"maurer":
Ovviamente no. Quella è una proprietà di "compattezza". Un controesempio facile facile: prendi [tex]I = \mathbb N[/tex] e per ogni [tex]n \in \mathbb N[/tex], considera [tex]A_n = [n,+\infty) \subset \mathbb R[/tex]; questo è il tuo controesempio.
Osserva, che [tex]\mathbb R[/tex] non è compatto e che gli [tex]A_n[/tex] sono chiusi di [tex]\mathbb R[/tex]. Queste cose sono legate dal fatto che la proprietà dell'intersezione finita sui chiusi di uno spazio topologico è equivalente alla compattezza dello stesso.
Ovviamente la tua domanda è valida in un contesto più generale degli spazi topologici, ma mi sembrava giusto sottolineare questo importante corrispettivo.
Potreste spiegarmi perché gli [tex]A_n[/tex] sono chiusi di [tex]\mathbb R[/tex]?
Inoltre volevo chiedervi altre cose.
Se non capisco male in questo caso abbiamo l'intersezione tra [tex][1, +\infty ], [2, +\infty] ...[/tex] giusto?
Lìntersezione di tutti gli [tex]A_n[/tex] però è vuota giusto?
Faccio fatica anche a capire questo esempio:
Consider [tex]X = (0, 2)[/tex] and let [tex]Z_n = (0, 1/n][/tex] for [tex]n \in N[/tex] Once again, each [tex]Z_n[/tex] is visibly closed in
X and any finite collection of these has non-empty intersection. But if we intersect all of them,
we again get ∅! Here the problem is that the intersection sort of moves off to the edge which isn’t
there (in X).
Potete aiutarmi? Scusate ma sto studiando qualche elemento di topologia su un testo di economia e non è molto esaustivo : /
La topologia su [tex]\mathbb R[/tex] è generata dagli intervalli aperti [tex](a,b)[/tex]. Visto che l'unione qualsiasi di aperti è ancora un aperto, [tex](-\infty,b) = \bigcup_{a < b} (a,b)[/tex] è aperto, quindi [tex][b,+\infty) = \mathbb R \setminus (-\infty,b)[/tex] è chiuso...
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