Intersezione di potenze di ideali masimali
Se ho un anello noetheriano locale con m ideale massimale come posso provare che [tex]\bigcap_{i\in \mathbb{N}} m^i=0[/tex]?
Risposte
Nakayama. Comunque, è vero per qualunque ideale addirittura se butti via l'ipotesi di località (ma è molto meno banale!)...
Applicando nakayama trovo che se
[tex]m^k=m^{k+1} \quad \Rightarrow \quad m^k=0[/tex]. Altrimenti accade che
[tex]m^k \neq m^{k+1} \quad \forall k \in \mathbb{N}[/tex] ma questa è una catena discendente
di ideali, e quindi non posso concludere che è stazionaria...
[tex]m^k=m^{k+1} \quad \Rightarrow \quad m^k=0[/tex]. Altrimenti accade che
[tex]m^k \neq m^{k+1} \quad \forall k \in \mathbb{N}[/tex] ma questa è una catena discendente
di ideali, e quindi non posso concludere che è stazionaria...
Non è il modo giusto.
Sia [tex]I := \bigcap_{i = 1}^{+\infty} \mathfrak m^i[/tex]. Siccome le potenze formano una catena discendente, ottieni [tex]\mathfrak m I = I[/tex] quindi [tex]I = 0[/tex] per Nakayama (le tue ipotesi fanno sì che le ipotesi di Nakayama siano rispettate).
Sia [tex]I := \bigcap_{i = 1}^{+\infty} \mathfrak m^i[/tex]. Siccome le potenze formano una catena discendente, ottieni [tex]\mathfrak m I = I[/tex] quindi [tex]I = 0[/tex] per Nakayama (le tue ipotesi fanno sì che le ipotesi di Nakayama siano rispettate).
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