Intersezione di ideali coprimi è contenuto nel loro prodotto

LLLorenzzz
Ciao a tutti! Mi sto rompendo la testa su un punto (che tutti i miei testi lasciano come facile esercizio), che sarà sicuramente una sciocchezza, ma si vede che non mi scatta la scintilla in testa....il problema è questo: ho due ideali $a$ e $b$ di un anello commutativo con unità. So che in generale il loro prodotto è incluso nella loro intersezione. Vorrei provare il viceversa (e dunque l'ugugalianza) sotto l'ipotesi che i due ideali siano coprimi, cioè che il loro ideale somma sia tutto l'anello.
Ringrazio per ogni forma di aiuto! ciao!

Risposte
Studente Anonimo
Studente Anonimo
Comincia col considerare due elementi [tex]r \in a[/tex] e [tex]s \in b[/tex] tali che [tex]r+s=1[/tex]. Ora prendi [tex]x \in a \cap b[/tex] e scrivi [tex]x = x \cdot 1 = x \cdot (r+s) = ...[/tex]

LLLorenzzz
ok fin qui ci sono...però allora mi sorge un dubbio: seguendo il ragionamento che proponi ho
$ x = .... =xr + xs$ dove $r \in a, s \in b$. Ora questo mi dice che $x \in a + b$. Ma, correggimi se sbaglio, l'ideale somma e l'ideale prodotto non sono la stessa cosa. Per provare che $x \in ab $ non dovrei far vedere che $x$ si scrive come prodotto di un elemento di $a$ per un elemento di $b$? Credo mi stia sfuggendo qualcosa... Intanto grazie Martino, ciao.

Studente Anonimo
Studente Anonimo
"LLLorenzzz":
Per provare che $x \in ab $ non dovrei far vedere che $x$ si scrive come prodotto di un elemento di $a$ per un elemento di $b$?
No no, attenzione. L'ideale prodotto non e' definito come l'insieme dei prodotti, ma come l'ideale generato dai prodotti. Se [tex]I[/tex] e [tex]J[/tex] sono due ideali di un anello commutativo allora l'ideale [tex]IJ[/tex] e' per definizione l'ideale generato da [tex]\{ij\ |\ i \in I,\ j \in J\}[/tex], in altre parole [tex]IJ[/tex] e' l'insieme di tutte le possibili somme di cose del tipo [tex]ij[/tex] con [tex]i \in I[/tex] e [tex]j \in J[/tex].

Sei arrivato a dire che [tex]a \cap b \ni x = xr+xs[/tex]. Ora siccome [tex]x \in b[/tex] e [tex]r \in a[/tex] si ha [tex]xr \in ab[/tex]. E siccome [tex]x \in a[/tex] e [tex]s \in b[/tex] si ha [tex]xs \in ab[/tex]. Ne segue che [tex]xr+xs \in ab[/tex].

LLLorenzzz
ecco effettivamente questo punto mi era sfuggito! adesso torna :D grazie mille per il tuo aiuto, ciao!

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