Intersezione di ideali coprimi è contenuto nel loro prodotto
Ciao a tutti! Mi sto rompendo la testa su un punto (che tutti i miei testi lasciano come facile esercizio), che sarà sicuramente una sciocchezza, ma si vede che non mi scatta la scintilla in testa....il problema è questo: ho due ideali $a$ e $b$ di un anello commutativo con unità. So che in generale il loro prodotto è incluso nella loro intersezione. Vorrei provare il viceversa (e dunque l'ugugalianza) sotto l'ipotesi che i due ideali siano coprimi, cioè che il loro ideale somma sia tutto l'anello.
Ringrazio per ogni forma di aiuto! ciao!
Ringrazio per ogni forma di aiuto! ciao!
Risposte
Comincia col considerare due elementi [tex]r \in a[/tex] e [tex]s \in b[/tex] tali che [tex]r+s=1[/tex]. Ora prendi [tex]x \in a \cap b[/tex] e scrivi [tex]x = x \cdot 1 = x \cdot (r+s) = ...[/tex]
ok fin qui ci sono...però allora mi sorge un dubbio: seguendo il ragionamento che proponi ho
$ x = .... =xr + xs$ dove $r \in a, s \in b$. Ora questo mi dice che $x \in a + b$. Ma, correggimi se sbaglio, l'ideale somma e l'ideale prodotto non sono la stessa cosa. Per provare che $x \in ab $ non dovrei far vedere che $x$ si scrive come prodotto di un elemento di $a$ per un elemento di $b$? Credo mi stia sfuggendo qualcosa... Intanto grazie Martino, ciao.
$ x = .... =xr + xs$ dove $r \in a, s \in b$. Ora questo mi dice che $x \in a + b$. Ma, correggimi se sbaglio, l'ideale somma e l'ideale prodotto non sono la stessa cosa. Per provare che $x \in ab $ non dovrei far vedere che $x$ si scrive come prodotto di un elemento di $a$ per un elemento di $b$? Credo mi stia sfuggendo qualcosa... Intanto grazie Martino, ciao.
"LLLorenzzz":No no, attenzione. L'ideale prodotto non e' definito come l'insieme dei prodotti, ma come l'ideale generato dai prodotti. Se [tex]I[/tex] e [tex]J[/tex] sono due ideali di un anello commutativo allora l'ideale [tex]IJ[/tex] e' per definizione l'ideale generato da [tex]\{ij\ |\ i \in I,\ j \in J\}[/tex], in altre parole [tex]IJ[/tex] e' l'insieme di tutte le possibili somme di cose del tipo [tex]ij[/tex] con [tex]i \in I[/tex] e [tex]j \in J[/tex].
Per provare che $x \in ab $ non dovrei far vedere che $x$ si scrive come prodotto di un elemento di $a$ per un elemento di $b$?
Sei arrivato a dire che [tex]a \cap b \ni x = xr+xs[/tex]. Ora siccome [tex]x \in b[/tex] e [tex]r \in a[/tex] si ha [tex]xr \in ab[/tex]. E siccome [tex]x \in a[/tex] e [tex]s \in b[/tex] si ha [tex]xs \in ab[/tex]. Ne segue che [tex]xr+xs \in ab[/tex].
ecco effettivamente questo punto mi era sfuggito! adesso torna
grazie mille per il tuo aiuto, ciao!
