Interi di gauss: fattorizzazione e divisione
Ciao a tutti, non riesco a trovare una fonte adatta a capire questo argomento.
A volte è necessario trovare il MCD tra due interi di gauss e si può procedere con l'algoritmo euclideo. Il problema è, come si effettua la fattorizzazione?
Ho difficoltà a svolgere la divisione nel modo 'classico' (in colonna come per i polinomi), allora provo a fattorizzare ad occhio ma non è una strategia né efficiente né spesso efficace.
Ad esempio come si effettua la divisione tra $15-5i$ e $6-12i$?
$6-12i$ sono riuscito a fattorizzarlo come $3*(2-i)*(1-i)^2$..
Inoltre avrei due dubbi teorici:
è giusto dire che la fattorizzazione 'non' è unica nel senso che in un'altra i fattori sarebbero a 2 a 2 associati?
è vero che $z1 divide x2 \iff \abs(z1)=abs(z2)$?
Grazie..!
A volte è necessario trovare il MCD tra due interi di gauss e si può procedere con l'algoritmo euclideo. Il problema è, come si effettua la fattorizzazione?
Ho difficoltà a svolgere la divisione nel modo 'classico' (in colonna come per i polinomi), allora provo a fattorizzare ad occhio ma non è una strategia né efficiente né spesso efficace.
Ad esempio come si effettua la divisione tra $15-5i$ e $6-12i$?
$6-12i$ sono riuscito a fattorizzarlo come $3*(2-i)*(1-i)^2$..
Inoltre avrei due dubbi teorici:
è giusto dire che la fattorizzazione 'non' è unica nel senso che in un'altra i fattori sarebbero a 2 a 2 associati?
è vero che $z1 divide x2 \iff \abs(z1)=abs(z2)$?
Grazie..!
Risposte
Ciao. Per fare la divisione con resto tra $alpha = a+ib$ e $beta = c+i d ne 0$ bisogna trovare $q,r$ (interi di gauss) tali che $alpha = q beta+r$ e $N(r)
$N(beta) > N(r) = N(alpha-q beta)$
$= N(beta (alpha/beta-q)) = N(beta) N(alpha/beta-q)$
Siccome $beta ne 0$ possiamo dividere per $N(beta)$ e ottenere che quello che ci serve è
$N(alpha/beta-q)<1$.
Ovviamente $alpha/beta = x+iy$ con $x,y$ numeri razionali (facilmente calcolabili in ogni caso specifico).
Esistono interi $e,f$ tali che $|x-e| le 1/2$, $|y-f| le 1/2$. Sia $q=e+i f$. Allora
$N(alpha/beta-q)=N(x+iy-e-i f)$
$= N((x-e)+i(y-f))$
$= (x-e)^2+(y-f)^2$
$le (1/2)^2+(1/2)^2 = 1/2 < 1$.
Quindi questa scelta di $q$ risolve il problema.
Nel tuo caso $alpha=15-5i$, $beta = 6-12i$ e un semplice conto mostra che $alpha/beta = 5/6+5/6 i$. Quindi possiamo scegliere $e=f=1$ e $q=1+i$. Il resto $r$ può essere facilmente calcolato: $r=alpha-q beta = -3+i$. Segue che la divisione con resto è
$15-5i = (1+i)(6-12i) + (-3+i)$.
Questo l'ho risolto io, ma ti invito a fare altri esercizi di questo tipo.
Nel caso di questa particolare divisione con resto, quoziente e resto non sono unici. Vedi [url=https://math.stackexchange.com/questions/2171776/uniqueness-of-the-remainder-and-quotient-in-an-euclidean-domain#:~:text=Uniqueness%20of%20the%20remainder%20and%20quotient%20in%20an%20Euclidean%20domain,-abstract%2Dalgebra%20ring&text=Let%20R%20be%20a%20Euclidean,%2CN(b)%7D.]qui[/url] per esempio. Tuttavia se applichi l'algoritmo di Euclide per trovare l' MCD, questo sarà unico a meno di associati.
I due dubbi teorici non li ho proprio capiti.
$N(beta) > N(r) = N(alpha-q beta)$
$= N(beta (alpha/beta-q)) = N(beta) N(alpha/beta-q)$
Siccome $beta ne 0$ possiamo dividere per $N(beta)$ e ottenere che quello che ci serve è
$N(alpha/beta-q)<1$.
Ovviamente $alpha/beta = x+iy$ con $x,y$ numeri razionali (facilmente calcolabili in ogni caso specifico).
Esistono interi $e,f$ tali che $|x-e| le 1/2$, $|y-f| le 1/2$. Sia $q=e+i f$. Allora
$N(alpha/beta-q)=N(x+iy-e-i f)$
$= N((x-e)+i(y-f))$
$= (x-e)^2+(y-f)^2$
$le (1/2)^2+(1/2)^2 = 1/2 < 1$.
Quindi questa scelta di $q$ risolve il problema.
Nel tuo caso $alpha=15-5i$, $beta = 6-12i$ e un semplice conto mostra che $alpha/beta = 5/6+5/6 i$. Quindi possiamo scegliere $e=f=1$ e $q=1+i$. Il resto $r$ può essere facilmente calcolato: $r=alpha-q beta = -3+i$. Segue che la divisione con resto è
$15-5i = (1+i)(6-12i) + (-3+i)$.
Questo l'ho risolto io, ma ti invito a fare altri esercizi di questo tipo.
Nel caso di questa particolare divisione con resto, quoziente e resto non sono unici. Vedi [url=https://math.stackexchange.com/questions/2171776/uniqueness-of-the-remainder-and-quotient-in-an-euclidean-domain#:~:text=Uniqueness%20of%20the%20remainder%20and%20quotient%20in%20an%20Euclidean%20domain,-abstract%2Dalgebra%20ring&text=Let%20R%20be%20a%20Euclidean,%2CN(b)%7D.]qui[/url] per esempio. Tuttavia se applichi l'algoritmo di Euclide per trovare l' MCD, questo sarà unico a meno di associati.
I due dubbi teorici non li ho proprio capiti.
Grazie!!
Se invece avessi voluto fattorizzarli in irriducibili come si può procedere?
Il dubbio teorico era se fosse vero che un intero di gauss z1 divide z2 se e solo se la norma di z1 divide quella di z2 (divisibilità intesa con r=0) (l'implicazione da sinistra verso destra è vera).
Ma invece volendo applicare l'algoritmo di Euclide per il MCD, come si svolgono le divisioni parziali?
Se invece avessi voluto fattorizzarli in irriducibili come si può procedere?
Il dubbio teorico era se fosse vero che un intero di gauss z1 divide z2 se e solo se la norma di z1 divide quella di z2 (divisibilità intesa con r=0) (l'implicazione da sinistra verso destra è vera).
Ma invece volendo applicare l'algoritmo di Euclide per il MCD, come si svolgono le divisioni parziali?
"Galager":Calcoli la norma e fattorizzi la norma, ricordando che i numeri primi che sono irriducibili come interi di Gauss sono quelli congrui a 3 modulo 4. Tra i fattori della norma cerchi i fattori del tuo elemento.
Grazie!!
Se invece avessi voluto fattorizzarli in irriducibili come si può procedere?
Il dubbio teorico era se fosse vero che un intero di gauss z1 divide z2 se e solo se la norma di z1 divide quella di z2 (divisibilità intesa con r=0) (l'implicazione da sinistra verso destra è vera).La risposta è no, pensa per esempio agli elementi irriducibili $1+2i$ e $1-2i$.
Ma invece volendo applicare l'algoritmo di Euclide per il MCD, come si svolgono le divisioni parziali?Esattamente allo stesso modo in cui procedi quando applichi l'algoritmo di Euclide per i numeri interi.
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