Interi di Gauss

[ifra.1]

Vi faccio una semplice domanda:
$2+2i$ e $3+i$ sono irriducibili in $ZZ$?
Secondo me lo so entrambi perchè sono non nulli e la loro norma diversa da 1, ma ho qualche dubbio dal momento che da questi due numeri dovrei partire per fare un esercizio che altrimenti non saprei svolgere.
Vi ringrazio

[rubik2]

Uno dei due è palesemente riducibile. Basta avere norma diversa da 1 per essere irriducibili?

[ifra.1]

Ok,$2+2i$ si può scrivere come $2*(1+i)$ ma poi devo trovare l'MCD tra questo e $3+1$ e, a questo punto, non ne sono capace....

[rubik2]

Io non mi ricordo precisamente la tecnica per calcolare il MCD negli interi di Gauss però sono un anello euclideo puoi fare la divisione, prova a farla. Poi:
$2$ è irriducibile? $3+i$?
Ricorda che la norma è moltiplicativa quindi se $z_1 | z_2$ allora la norma di $z_1$ divide la norma di $z_2$ questo limita i divisori possibili di un numero.

[NightKnight1]

Vale il seguente:
L'insieme degli irriducibili dell'anello degli interi di Gauss è $Irr(ZZ) = {mu p \in ZZ \ : \ p in NN \ \text{primo}, p equiv 3 (mod 4), mu in {pm 1, pm i} } cup {w in ZZ \ : \ |w|^2 in NN \ text{e' primo in} \ ZZ}$.
Si vede che né $2+2i$ né $3+i$ appartengono all'insieme sopra, quindi sono riducibili.