Integrità e noetherianità

[DarkSepiroth]

Vi propongo il seguente problemino...


Sia $(A, \mathfrak{m})$ dominio locale noetheriano, $x \in Q(A)$ non intero su $ A$ e tale che $ x \mathfrak{m} \subseteq A$. Mostra che $\mathfrak{m}$ è un ideale principale.

[DarkSepiroth]

Nessuna idea? io ho provato a ragionare un po' per applicare la teoria degli ideali frazionari, però non è uscito fuori niente di che.

[mistake89]

Mmm io la notazione non la capisco
$Q(A)$ cos'è? Per caso il radicale di Jacobson?
Ed $m$ è un ideale oppure l'insieme moltiplicativo?

Scusa la banalità

[DarkSepiroth]

No, $Q(A)$ indica il campo dei quozienti di $A$.

[Studente Anonimo]

Se [tex]xm[/tex] non è contenuto in [tex]m[/tex] allora esiste [tex]y \in m[/tex] tale che [tex]xy[/tex] appartiene a [tex]A-m[/tex], cioè è invertibile. Ma allora dato un [tex]n \in m[/tex] si ha [tex]n = (xy)^{-1} n (xy) = (xy)^{-1} (nx) y \in Ay[/tex], essendo [tex]nx \in mx \subseteq A[/tex]. Ne segue che [tex]m=Ay[/tex].

Supponiamo quindi che [tex]xm \subseteq m[/tex]. Il seguente lemma (di cui non sono sicurissimo, ma l'idea è questa) applicato alla mappa [tex]m \to m[/tex] data dalla moltiplicazione per [tex]x[/tex] (usando il fatto che [tex]m[/tex] è finitamente generato) implica che [tex]x[/tex] è intero su [tex]A[/tex], contraddizione.

Risultato stile Cayley-Hamilton. Siano [tex]A[/tex] un anello commutativo unitario, [tex]M[/tex] un [tex]A[/tex]-modulo finitamente generato, [tex]\{m_1,\ldots,m_k\}[/tex] un insieme di generatori di [tex]M[/tex] su [tex]A[/tex], [tex]\varphi:M \to M[/tex] un morfismo di [tex]A[/tex]-moduli, [tex]a_{ij}[/tex], [tex]i,j \in \{1,...,k\}[/tex] tali che [tex]\varphi(m_i) = \sum_i a_{ij} m_j[/tex] e [tex]\Delta[/tex] la matrice [tex](\delta_{ij}\varphi-a_{ij})_{i,j=1,...,k}[/tex], dove [tex]\delta_{ij}[/tex] vale [tex]1[/tex] se [tex]i=j[/tex] e [tex]0[/tex] altrimenti. Allora [tex]\det(\Delta)[/tex] è l'omomorfismo nullo [tex]M \to M[/tex].