Insiemistica e divisioni
Salve a tutti! ^_^
Ultimamente mi sono posto il problema di come descrivere le operazioni dell' algebra da un punto di vista insiemistico. Pensavo che sarebbe stato abbastanza facile, ma invece ho incontrato alcune difficoltà, specialmente per ciò che riguarda la divisione.
Per chiarire qual'è la mia domanda, vi spiego rapidamente come ho ragionato per le altre operazioni:
Ho paragonato l'addizione all' unione, cioè 3+2=5 può essere letto come un insieme di 3 cose, ad esempio mele, che si unisce a un'altro di 2 mele, per farne uno di 5.
La sottrazione l'ho fatta con l'intersezione e la complementarietà, per esempio 3-2=1 lo interpreto come l'intersezione dell'insieme di 3 mele con quello di 2, per cui l'insieme minore diventa sottoinsieme di quello maggiore, dopo di che faccio la complementarietà rispetto all' insieme maggiore (cioè quello di 3 mele) e il risultato è 1.
La moltiplicazione è una serie di unioni in successione.
Per la divisione invece, ho pensato di poterla interpretare come una serie di sottrazioni in successione, ma funziona solo con le divisioni apparenti, per esempio se ho un insieme di 6 e uno di 2, se voglio fare la divisione faccio $\neg(6$nn$2)$=4, poi faccio lo stesso fra 4 e 2 e infine fra 2 e 2, la cui intersezione è lo stesso insieme 2 e la cui negazione è quindi l'insieme vuoto.
Tuttavia così, a differenza che negli altri casi, il risultato non lo troviamo in un insieme ma nella quanti ta di vuolte per cui ripetiamo l'operazione (infatti sono 3: 6$nn$2, poi 4$nn$2, poi 2$nn$2) e soprattutto nel caso di divisioni non apparenti come 7/3 si deve accettare di mantenere un resto (in questo caso 1), cioè non sò come passare ai decimali.
Spero di essere stato sufficentemente chiaro, e soprattutto di aver postato nella sezione giusta, casomai spostate ^_^
Ah, e scusate anche per la poca dimestichezza coi simboli matematici quel 6nn2 dovrebbe essere un 6 intersezione 2 ma non so perchè non mi viene!
Ultimamente mi sono posto il problema di come descrivere le operazioni dell' algebra da un punto di vista insiemistico. Pensavo che sarebbe stato abbastanza facile, ma invece ho incontrato alcune difficoltà, specialmente per ciò che riguarda la divisione.
Per chiarire qual'è la mia domanda, vi spiego rapidamente come ho ragionato per le altre operazioni:
Ho paragonato l'addizione all' unione, cioè 3+2=5 può essere letto come un insieme di 3 cose, ad esempio mele, che si unisce a un'altro di 2 mele, per farne uno di 5.
La sottrazione l'ho fatta con l'intersezione e la complementarietà, per esempio 3-2=1 lo interpreto come l'intersezione dell'insieme di 3 mele con quello di 2, per cui l'insieme minore diventa sottoinsieme di quello maggiore, dopo di che faccio la complementarietà rispetto all' insieme maggiore (cioè quello di 3 mele) e il risultato è 1.
La moltiplicazione è una serie di unioni in successione.
Per la divisione invece, ho pensato di poterla interpretare come una serie di sottrazioni in successione, ma funziona solo con le divisioni apparenti, per esempio se ho un insieme di 6 e uno di 2, se voglio fare la divisione faccio $\neg(6$nn$2)$=4, poi faccio lo stesso fra 4 e 2 e infine fra 2 e 2, la cui intersezione è lo stesso insieme 2 e la cui negazione è quindi l'insieme vuoto.
Tuttavia così, a differenza che negli altri casi, il risultato non lo troviamo in un insieme ma nella quanti ta di vuolte per cui ripetiamo l'operazione (infatti sono 3: 6$nn$2, poi 4$nn$2, poi 2$nn$2) e soprattutto nel caso di divisioni non apparenti come 7/3 si deve accettare di mantenere un resto (in questo caso 1), cioè non sò come passare ai decimali.
Spero di essere stato sufficentemente chiaro, e soprattutto di aver postato nella sezione giusta, casomai spostate ^_^
Ah, e scusate anche per la poca dimestichezza coi simboli matematici quel 6nn2 dovrebbe essere un 6 intersezione 2 ma non so perchè non mi viene!
Risposte
benvenuto nel forum.
non so qual' è il tuo livello di conoscenze quindi non so bene come risponderti.
innanzitutto quando vuoi scrivere una formula racchuidila tutta tra i simboli dollaro
ad esempio $6nn2$ è quello che cerchi. (ho scritto esattamente \$6nn2\$ )
passiamo al problema. tu stai lavorando in $NN$, al massimo in $ZZ$, chiaro?
in questi insiemi puoi definire somma e sottrazione (che sono poi la stessa cosa) e la moltiplicazione.
ma non la divisione come la intendi tu: questo perchè $ZZ$ è un anello e non un campo, quindi non esistono gli inversi in generale: non so se questo ti dice qualcosa.
il punto è che non puoi fare tutte le divisioni, mentre puoi fare la divisione con resto, ovvero puoi costruire l'algortmo euclideo, che è più o meno quello che hai fatto tu (ma non proprio).
ma non credo che con gli insiemi tu possa definire i numeri razionali, che è quello che ti serve per fare tutte le divisioni.
non so qual' è il tuo livello di conoscenze quindi non so bene come risponderti.
innanzitutto quando vuoi scrivere una formula racchuidila tutta tra i simboli dollaro
ad esempio $6nn2$ è quello che cerchi. (ho scritto esattamente \$6nn2\$ )
passiamo al problema. tu stai lavorando in $NN$, al massimo in $ZZ$, chiaro?
in questi insiemi puoi definire somma e sottrazione (che sono poi la stessa cosa) e la moltiplicazione.
ma non la divisione come la intendi tu: questo perchè $ZZ$ è un anello e non un campo, quindi non esistono gli inversi in generale: non so se questo ti dice qualcosa.
il punto è che non puoi fare tutte le divisioni, mentre puoi fare la divisione con resto, ovvero puoi costruire l'algortmo euclideo, che è più o meno quello che hai fatto tu (ma non proprio).
ma non credo che con gli insiemi tu possa definire i numeri razionali, che è quello che ti serve per fare tutte le divisioni.
Dunque dunque...
Innanzitutto grazie per le delucidazioni sulle formule ^_^
Poi... entriamo nel merito della discussione:
Io sono un neodiplomato di liceo scientifico, quindi di matematica dovrei saperne abbastanza, tuttavia ci sono cose che, seppur basilari, al liceo non ti spiegano. Per esempio non ho mai sentito parlare di anelli e campi in riferimento a insiemi di numeri...
So che questa è la sezione universitaria, ma la sezione per le domande di insiemistica è qui.
Di recente ho deciso di fare un ripasso generale di tutto ciò che avevo studiato di matematica partendo dalle basi, e sono partito addirittura dal libro di prima liceo, quello che contiene le definizioni delle operazioni che si imparano alle elementari
Ho cominciato il ripasso dal capitolo di insiemistica e logica, e così ho pensato di provare a ricollegare tutte le mie conoscenze in matematica direttamente con l'insiemistica, cioè sto provando a riformulare tutte le mie nozioni col linguaggio logico-insiemistico.
Ho provato a fare delle ricerche in base alla risposta di blackbishop13, e su wikipedia ho trovato questa strana cosa:
* 0 = { }
* 1 = {0} = {{ }}
* 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
* 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
O in alternativa:
* 0 = { }
* 1 = {0} = {{ }}
* 2 = {1} = {{{ }}}, ...
E anche:
* 0 = {{ }}
* 1 = {{ }, 0} = {{ }, {{ }}}
* 2 = {{ }, 0, 1}, etc.
Da queste scritture mi pare che si stia sommando insiemi vuoti a insiemi vuoti... ma non dovrebbe risultare alla fine un altro insieme vuoto?
E soprattutto, questo cosa c'entra col fatto che non posso eseguire divisioni in $N$? (al momento stò ragionando solo in questo insieme).
Innanzitutto grazie per le delucidazioni sulle formule ^_^
Poi... entriamo nel merito della discussione:
Io sono un neodiplomato di liceo scientifico, quindi di matematica dovrei saperne abbastanza, tuttavia ci sono cose che, seppur basilari, al liceo non ti spiegano. Per esempio non ho mai sentito parlare di anelli e campi in riferimento a insiemi di numeri...
So che questa è la sezione universitaria, ma la sezione per le domande di insiemistica è qui.
Di recente ho deciso di fare un ripasso generale di tutto ciò che avevo studiato di matematica partendo dalle basi, e sono partito addirittura dal libro di prima liceo, quello che contiene le definizioni delle operazioni che si imparano alle elementari
Ho cominciato il ripasso dal capitolo di insiemistica e logica, e così ho pensato di provare a ricollegare tutte le mie conoscenze in matematica direttamente con l'insiemistica, cioè sto provando a riformulare tutte le mie nozioni col linguaggio logico-insiemistico.
Ho provato a fare delle ricerche in base alla risposta di blackbishop13, e su wikipedia ho trovato questa strana cosa:
* 0 = { }
* 1 = {0} = {{ }}
* 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
* 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
O in alternativa:
* 0 = { }
* 1 = {0} = {{ }}
* 2 = {1} = {{{ }}}, ...
E anche:
* 0 = {{ }}
* 1 = {{ }, 0} = {{ }, {{ }}}
* 2 = {{ }, 0, 1}, etc.
Da queste scritture mi pare che si stia sommando insiemi vuoti a insiemi vuoti... ma non dovrebbe risultare alla fine un altro insieme vuoto?
E soprattutto, questo cosa c'entra col fatto che non posso eseguire divisioni in $N$? (al momento stò ragionando solo in questo insieme).
"Un Utente":
sono un neodiplomato di liceo scientifico, quindi di matematica dovrei saperne abbastanza
un mio professore l'anno scorso (sono al secondo anno di università) mi ha detto che l'unica differenza tra i diplomati al liceo scientifico e gli altri è che i secondi sono ben consci di non sapere nulla di matematica. dopo un anno di matematica non posso che dargli ragione!e te lo dice uno che ha fatto la tua stessa scuola.
non ce l'ho con te ovviamente, hai detto cose tutto sommato sensate per ora.
quello che hai trovato riguarda una definizione di $NN$, insieme dei numeri naturali, ma adesso non c'entra con quello che dicevi tu.
il punto che non hai capito è: l'insieme vuoto è una cosa, mentre l'insieme che contiene l'insieme vuoto è un insieme non vuoto.
ma per ora questo discorso può solo confonderti.
tornando al problema originale: non puoi costruire la divisione in $ZZ$. hai bisogno di spostarti in un ampliamento, ovvero in $QQ$. lì puoi definirla.
devi capire questa cosa.
"blackbishop13":
un mio professore l'anno scorso (sono al secondo anno di università) mi ha detto che l'unica differenza tra i diplomati al liceo scientifico e gli altri è che i secondi sono ben consci di non sapere nulla di matematica. dopo un anno di matematica non posso che dargli ragione!e te lo dice uno che ha fatto la tua stessa scuola.
Pare che non io non faccia parte neanche di questo gruppo allora o______o
"blackbishop13":
tornando al problema originale: non puoi costruire la divisione in $ZZ$. hai bisogno di spostarti in un ampliamento, ovvero in $QQ$. lì puoi definirla.
devi capire questa cosa.
Ma... perchè? xD
Cioè come giustifichi questa affermazione? Cos'è che crea il problema di cui parliamo?
è una sorta di assioma della matematica? Ma a me non sembra tanto autoevidente
no no non è assolutamente un assioma, è una constatazione molto banale:
non esistono gli inversi moltiplicativi, ovvero dato $x in ZZ$$/{0}$, in generale non esiste $y in ZZ$ tale che $x*y=1$.
cioè non esiste quello che di solito si scrive come $1/x$ o $x^(-1)$.
quindi niente divisione ( che in realtà come la sottrazione è una operazione fittizia, si tratta dell' inverso delle operazioni "vere" somma e moltiplicazione)
l'inverso moltiplicativo esiste in $ZZ$ solo per due valori particolari ovviamente, ovvero per $1$ e $-1$.
tutto questo si traduce nel fatto che $ZZ$ non è un campo (giusto per informazione).
P.S. come ti ho detto tu fai parte di quelli del primo gruppo, quelli che hanno fatto lo scientifico. cosa vuoi fare all'università?
non esistono gli inversi moltiplicativi, ovvero dato $x in ZZ$$/{0}$, in generale non esiste $y in ZZ$ tale che $x*y=1$.
cioè non esiste quello che di solito si scrive come $1/x$ o $x^(-1)$.
quindi niente divisione ( che in realtà come la sottrazione è una operazione fittizia, si tratta dell' inverso delle operazioni "vere" somma e moltiplicazione)
l'inverso moltiplicativo esiste in $ZZ$ solo per due valori particolari ovviamente, ovvero per $1$ e $-1$.
tutto questo si traduce nel fatto che $ZZ$ non è un campo (giusto per informazione).
P.S. come ti ho detto tu fai parte di quelli del primo gruppo, quelli che hanno fatto lo scientifico. cosa vuoi fare all'università?
"blackbishop13":
[quote="Un Utente"]sono un neodiplomato di liceo scientifico, quindi di matematica dovrei saperne abbastanza
un mio professore l'anno scorso (sono al secondo anno di università) mi ha detto che l'unica differenza tra i diplomati al liceo scientifico e gli altri è che i secondi sono ben consci di non sapere nulla di matematica.[/quote]Condivido in pieno! All'inizio del primo anno anch'io ero convinto di sapere cosa fosse la matematica...
Vorrei sapere due cose per chiarirmi ulteriormente le idee:
_Ma il fatto che la divisione non sia definita in $NN$ e $ZZ$ ha qualcosa a che vedere con il concetto di unità, che nel passaggio do $ZZ$ a $QQ$ sembra perdersi in favore di un qualcosa di più simile a un "mare"? Cioè $NN$ e $ZZ$ mi sembra siano fandati sull'idea di entità tutte uguali e nettamente distinte fra di loro, voglio dire che si passa con una sorta di "scatto" dall'uno al due e dal due al tre, mentre in $QQ$ questo spazio vuoto fra i numeri si colma e diventa una sorta di tutto unico.
_ In base a cosa si stabilisce come individuare un insieme matematico? Quand'è che si decide che numeri caratterizzati da certe proprietà fanno parte di un insieme distinto dagli altri?
Comunque, all'uni voglio fare Ing. gestionale, mi sembra risponda abbastanza bene alla molteplicità dei miei interessi (mi fa piacere studiare economia oltre a matematica, fisica e materie ingegneristiche, infatti seguo anche volentieri le vicende economico-politiche del nostro paese e mi piacerebbe poterci capire di più, inoltre mi piace indagare anche sull'uomo e sulla società oltre che sulla natura fisica del mondo)
In realtà come forse avrete intuito, per la molteplicità dei miei interessi io sarei soprattutto un filosofo
Al liceo era quella la mia materia forte. Delle altre materie mi occupavo sotto la spinta di un "interesse secondario", cioè la ricerca filosofica può portarti a indagare campi più specifici della conoscenza, ma non perchè ti interessi quell' ambito in se, bensì per risolvere altri interrogativi.
Allora perchè non fare filosofia? beh, ma io voglio pur sempre essere efficace nel concreto ^_^
Non mi sono mai limitato a studiare una filosofia tanto per poter dire di conoscerla, ho sempre cercato di fare del mio meglio per applicarla alla mia vita reale, vedendo come la cambiava. Questo interesse a concretizzare cel' avevo fin da bambino, quando disegnavo sgangherati progetti di astronavi e armi di distruzione per eliminare i compagni d'asilo che mi stavano antipatici
A parte queste corbellerie, ancora oggi sono affascinato dalla capacità che ha l'ingegnere di incidere nella realtà, non sò se capite ciò che intendo
_Ma il fatto che la divisione non sia definita in $NN$ e $ZZ$ ha qualcosa a che vedere con il concetto di unità, che nel passaggio do $ZZ$ a $QQ$ sembra perdersi in favore di un qualcosa di più simile a un "mare"? Cioè $NN$ e $ZZ$ mi sembra siano fandati sull'idea di entità tutte uguali e nettamente distinte fra di loro, voglio dire che si passa con una sorta di "scatto" dall'uno al due e dal due al tre, mentre in $QQ$ questo spazio vuoto fra i numeri si colma e diventa una sorta di tutto unico.
_ In base a cosa si stabilisce come individuare un insieme matematico? Quand'è che si decide che numeri caratterizzati da certe proprietà fanno parte di un insieme distinto dagli altri?
Comunque, all'uni voglio fare Ing. gestionale, mi sembra risponda abbastanza bene alla molteplicità dei miei interessi (mi fa piacere studiare economia oltre a matematica, fisica e materie ingegneristiche, infatti seguo anche volentieri le vicende economico-politiche del nostro paese e mi piacerebbe poterci capire di più, inoltre mi piace indagare anche sull'uomo e sulla società oltre che sulla natura fisica del mondo)
In realtà come forse avrete intuito, per la molteplicità dei miei interessi io sarei soprattutto un filosofo
Al liceo era quella la mia materia forte. Delle altre materie mi occupavo sotto la spinta di un "interesse secondario", cioè la ricerca filosofica può portarti a indagare campi più specifici della conoscenza, ma non perchè ti interessi quell' ambito in se, bensì per risolvere altri interrogativi.
Allora perchè non fare filosofia? beh, ma io voglio pur sempre essere efficace nel concreto ^_^
Non mi sono mai limitato a studiare una filosofia tanto per poter dire di conoscerla, ho sempre cercato di fare del mio meglio per applicarla alla mia vita reale, vedendo come la cambiava. Questo interesse a concretizzare cel' avevo fin da bambino, quando disegnavo sgangherati progetti di astronavi e armi di distruzione per eliminare i compagni d'asilo che mi stavano antipatici
A parte queste corbellerie, ancora oggi sono affascinato dalla capacità che ha l'ingegnere di incidere nella realtà, non sò se capite ciò che intendo
"Un Utente":Questa idea intuitiva è senz'altro fondata. Ma la spiegazione non va cercata in ambito algebrico, bensì in un altro contesto, quello topologico. In questo ambito infatti si dimostra che $NN$ e $ZZ$ sono spazi discreti, in cui cioè la struttura topologica discerne i singoli punti, e che questo non accade più in $QQ$ né tantomeno in $RR$.
_Ma il fatto che la divisione non sia definita in $NN$ e $ZZ$ ha qualcosa a che vedere con il concetto di unità, che nel passaggio do $ZZ$ a $QQ$ sembra perdersi in favore di un qualcosa di più simile a un "mare"? Cioè $NN$ e $ZZ$ mi sembra siano fandati sull'idea di entità tutte uguali e nettamente distinte fra di loro, voglio dire che si passa con una sorta di "scatto" dall'uno al due e dal due al tre, mentre in $QQ$ questo spazio vuoto fra i numeri si colma e diventa una sorta di tutto unico.
Il contesto topologico, da quel che ho capito tramite wikipedia, usa comunque la teoria degli insiemi, Si dice dello spazio topologico:
La struttura consiste in una collezione di insiemi di X, detti aperti, che soddisfano delle proprietà simili a quelle degli insiemi aperti della retta reale \R.
Poi vado a vedere cos'è un insieme aperto:
Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva
Ma io rimango per ora all' idea intuitiva, che è quella che capisco di più.
Se uno spazio topologico è una collezione di insiemi aperti, e gli inisemi aperti sono quelli per cui è possibile spostarsi sufficientemente poco per non uscire dall' insieme stesso, allora alla fine la divisibilità si spiega con la divisibilità, il che non dovrebbe essere tanto giusto dal punto di vista logico.
Mi spiego meglio:
L'idea di insieme aperto mi pare si possa ricondurre al paradosso dello stadio di Zenone:
Il primo argomento contro il movimento è quello sullo stadio.
Esso afferma che non si può giungere all'estremità di uno stadio senza prima aver raggiunto la metà di esso, ma prima di raggiungerla si dovrà raggiungere la metà della metà e così via senza quindi mai riuscire a raggiungere l'estremità dello stadio.
(Fonte: la solita wiki).
Non si può raggiungere la metà dello stadio perchè lo su può dividere prima nella metà, poi nella metà della metà ecc...
Questa sembra la definizione di insieme aperto. Quindi se si dice che la spiegazione va cercata in ambito topologico, cioè in ambito di insiemi aperti, non si incorre in un "corto circuito logico"? è come dire: la divisibilità esiste in $QQ$ perchè esiste in $QQ$...
E poi, pensandoci su: se noi vogliamo fare della matematica, cioè contare qualcosa, abbiamo sempre bisogno di definire delle unità distinte fra loro in cui scomporre la cosa. Cioè, non possiamo fare a meno dell' idea di unità per usare la matematica. Anche quando entriamo in $QQ$ e usiamo le virgole (quindi siamo al di fuori delle divisioni apparenti) in realtà non facciamo altro che scomporre il numero un un'altro tipo di unità di misura. Per esempio, se faccio $7/2=3,5$ io mentalmente mi raffiguro di scomporre un insieme di sette palline in un altro di 14 semipalline, e poi di prenderne la metà, cioè 7 semipalline e quindi 3,5 palline intere, considerando come unità una pallina anzichè una semi pallina. Ma sia che si parli di semipalline sia che si parli di palline, avremo sempre a che fare con entità ben distinte fra loro se vogliamo contare qualcosa, e non di un campo continuo e uniforme: ci devono essere interruzioni. Ciò che cambia in $QQ$ è solo il fatto che è un insieme in cui l'unità di misura è flessibile: si possono prendere semipalline, terzipalline o quartipalline a seconda del caso. Sbaglio?
La struttura consiste in una collezione di insiemi di X, detti aperti, che soddisfano delle proprietà simili a quelle degli insiemi aperti della retta reale \R.
Poi vado a vedere cos'è un insieme aperto:
Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva
Ma io rimango per ora all' idea intuitiva, che è quella che capisco di più.
Se uno spazio topologico è una collezione di insiemi aperti, e gli inisemi aperti sono quelli per cui è possibile spostarsi sufficientemente poco per non uscire dall' insieme stesso, allora alla fine la divisibilità si spiega con la divisibilità, il che non dovrebbe essere tanto giusto dal punto di vista logico.
Mi spiego meglio:
L'idea di insieme aperto mi pare si possa ricondurre al paradosso dello stadio di Zenone:
Il primo argomento contro il movimento è quello sullo stadio.
Esso afferma che non si può giungere all'estremità di uno stadio senza prima aver raggiunto la metà di esso, ma prima di raggiungerla si dovrà raggiungere la metà della metà e così via senza quindi mai riuscire a raggiungere l'estremità dello stadio.
(Fonte: la solita wiki).
Non si può raggiungere la metà dello stadio perchè lo su può dividere prima nella metà, poi nella metà della metà ecc...
Questa sembra la definizione di insieme aperto. Quindi se si dice che la spiegazione va cercata in ambito topologico, cioè in ambito di insiemi aperti, non si incorre in un "corto circuito logico"? è come dire: la divisibilità esiste in $QQ$ perchè esiste in $QQ$...
E poi, pensandoci su: se noi vogliamo fare della matematica, cioè contare qualcosa, abbiamo sempre bisogno di definire delle unità distinte fra loro in cui scomporre la cosa. Cioè, non possiamo fare a meno dell' idea di unità per usare la matematica. Anche quando entriamo in $QQ$ e usiamo le virgole (quindi siamo al di fuori delle divisioni apparenti) in realtà non facciamo altro che scomporre il numero un un'altro tipo di unità di misura. Per esempio, se faccio $7/2=3,5$ io mentalmente mi raffiguro di scomporre un insieme di sette palline in un altro di 14 semipalline, e poi di prenderne la metà, cioè 7 semipalline e quindi 3,5 palline intere, considerando come unità una pallina anzichè una semi pallina. Ma sia che si parli di semipalline sia che si parli di palline, avremo sempre a che fare con entità ben distinte fra loro se vogliamo contare qualcosa, e non di un campo continuo e uniforme: ci devono essere interruzioni. Ciò che cambia in $QQ$ è solo il fatto che è un insieme in cui l'unità di misura è flessibile: si possono prendere semipalline, terzipalline o quartipalline a seconda del caso. Sbaglio?
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