Insiemi transitivi

[Ferry2]

Esistono insiemi transitivi che non sono ordinali?

[cionilorenzo]

"Ferry":Esistono insiemi transitivi che non sono ordinali?

Guarda che la transitività si riferisce alle relazioni su un insieme e non all'insieme.
Di solito le comuni relazioni su $R$ (tipo $>$, $>=$ e simili) sono transitive.
L.

[fulcanelli]

"cionilorenzo":[quote="Ferry"]Esistono insiemi transitivi che non sono ordinali?

Guarda che la transitività si riferisce alle relazioni su un insieme e non all'insieme.
Di solito le comuni relazioni su $R$ (tipo $>$, $>=$ e simili) sono transitive.
L. [/quote] No, un insieme si dice "transitivo" se è downward closed rispetto alla relazione \(\in\), o equivalentemente, se \(\bigcup A\subseteq A\).

La risposta è sì: un ordinale alla Von Neumann è un insieme transitivo ed ereditariamente transitivo. E' sufficiente prendere un insieme transitivo i cui elementi non siano, a loro volta, insiemi transitivi, ossia un insieme che non sia ben ordinato da \(\in\). Un esempio è \(S=\{\varnothing,\{\varnothing\}, \{\varnothing,\{\varnothing\}\}, \{\{\varnothing\}\}\}\): è transitivo, perché \(\bigcup S \subset S\), ma non è bene ordinato.

[cionilorenzo]

"fulcanelli":[quote="cionilorenzo"][quote="Ferry"]Esistono insiemi transitivi che non sono ordinali?

Guarda che la transitività si riferisce alle relazioni su un insieme e non all'insieme.
Di solito le comuni relazioni su $R$ (tipo $>$, $>=$ e simili) sono transitive.
L. [/quote] No, un insieme si dice "transitivo" se è downward closed rispetto alla relazione \(\in\), o equivalentemente, se \(\bigcup A\subseteq A\).

La risposta è sì: un ordinale alla Von Neumann è un insieme transitivo ed ereditariamente transitivo. E' sufficiente prendere un insieme transitivo i cui elementi non siano, a loro volta, insiemi transitivi, ossia un insieme che non sia ben ordinato da \(\in\). Un esempio è \(S=\{\varnothing,\{\varnothing\}, \{\varnothing,\{\varnothing\}\}, \{\{\varnothing\}\}\}\): è transitivo, perché \(\bigcup S \subset S\), ma non è bene ordinato.[/quote]
Ok, non lo sapevo, grazie. Ho imparato una cosa nuova.
Cmq la domanda era relativa a insiemi transitivi non ordinali se non erro... Il tuo insieme $S$ non mi pare molto interessante, fra l'altro.
L.
PS L'hai ripreso da qui? http://calvino.polito.it/~camerlo/gargnan2014-1.pdf