Insiemi totalmente ordinati

[miuemia]

esistono insiemi che ammettono minimo senza essere totalmente ordinati????

[miuemia]

forse credo di averlo trovato... considero l'insieme delle parti di un insieme non vuoto e metto la relazione di inclusione che sicuramente non è totale ma c'è minimo il vuoto stesso che è contenuto in ogni sottinsieme...può andare???

[Principe2]

certamente... più interessante è il problema "se verificano il principio del minimo senza essere totalmente ordinati" (le parti non vanno bene!)

P.s. sinceramente su due piedi non so se esistono insiemi di questo tipo

[Chevtchenko]

Per principio del minimo intendi che ogni parte non vuota dell'insieme deve avere minimo?

[Nidhogg]

"ubermensch":certamente... più interessante è il problema "se verificano il principio del minimo senza essere totalmente ordinati" (le parti non vanno bene!)

P.s. sinceramente su due piedi non so se esistono insiemi di questo tipo

Perchè l'insieme della parti $P(A)$ di un dato insieme $A$ con la relazione dell'inclusione $sube$ non va bene?

Voglio dimostrare che $(P(A),sube)$ è un insieme parzialmente ordinato (quando $|A|>=2$).
Supponiamo che $(P(A),sube)$ sia un insieme totalmente ordinato. Se $a,b in A$, allora ${a},{b} in P(A)$; dato che l'ordinamento $sube$ su $P(A)$ è totale, si ha che ${a} sube {b}$ oppure che ${b} sube {a}$. Trattandosi di insiemi con un solo elemento, in entrambi i casi si ha che ${a}={b}$, e pertanto se ne conclude che $a=b$. Questo dimostra che $A$ ha al più un elemento.
Ora l'insieme ${O/}$ non è il minimo di $P(A)$????


Saluti, Ermanno.

[miuemia]

nidhhog edi che non va bene l'esempio che hai portato in quanto $\in$ non è un ordine totale in $P(a)$... fai attenzione

[miuemia]

per sandokan
non il principio del minimo ma solo minimo cioè $AAx(x!=m=>mRx)$ capito??

[Nidhogg]

"miuemia":nidhhog edi che non va bene l'esempio che hai portato in quanto $\in$ non è un ordine totale in $P(a)$... fai attenzione

Tu non avevi chiesto un insieme che ammette minimo e non è totalmente ordinato?

Saluti, Ermanno.

[Chevtchenko]

Cari amici, io avevo chiesto a Ubermensch che cosa intende con ''principio del minimo''...

[xunil1987]

"Sandokan.":Per principio del minimo intendi che ogni parte non vuota dell'insieme deve avere minimo?

Se il principio del minimo è questo allora ricordo la definizione di relazione di buon ordine.
Una relazione si dice di buon ordine su un insieme se ogni parte non vuota ammette minimo. In questo caso è anche possibile dimostrare che se un insieme è "bene ordinato" (cioè la relazione è di buon ordine) allora è anche totalmente ordinato.

Basta dire che $AA x,y in A$, $EE min{x,y}$ $=>$ $AA x,y in A$ $x<=y or y<=x$. Quindi tutte le coppie di $A$ sono confrontabili. E questo corrisponde con la definizione di insieme totalmente ordinato.


Quindi non ci sono esempi di insiemi che verificano il principio del minimo (inteso come l'ha inteso Sandokan) senza essere totalmente ordinati.