Insiemi grandi e grossi

[perplesso1]

A parte la teoria degli insiemi e in generale tutto quello che ruota intorno ai fondamenti della matematica, c'è qualche altro settore della matematica che utilizza insiemi che hanno una cardinalità particolarmente grande (intendo almeno più grande dei numeri reali) ?? Per esempio, tanto per dire, l'insieme delle funzioni di R in se ha cardinalità $2^{2^{N_0}}$. C'è qualche ramo dell'analisi che studia questo insieme? Ho cercato su google per reperire informazioni ma non sapendo bene che parole chiave inserire non ho trovato nulla di interessante e\o comprensibile (per me). In realtà non so neanche se questa domanda è posta in termini soddisfacenti, solo che in quel poco (pochissimo) di matematica che ho studiato si lavora sempre con insiemi che sono numerabili oppure hanno la cardinalità del continuo. E gli altri allora non servono a niente? xD Tutto qua...

[Lord K]

La matematica che studia i fondamenti riguardanti la teoria degli insiemi è della più varia, ma principalmente si possono trovare molte informazioni in scritti di logica (la logice E' la teoria degli insiemi) e in molti ambiti ove la cardinalità è importante. Visto che comunque l'argomento è davvero molto vasto, ti chiedo cosa sia di tuo interesse...

[perplesso1]

Beh la mia era una riflessione che è nata perchè mi capita spesso di osservare che alcune proprietà che valgono in insiemi "piccoli" non valgono più in insiemi "grandi". Per esempio in topologia $R^n$ è metrizzabile, $R^\omega$ è ancora metrizzzabile ma il prodotto $R^J$ con $J$ non numerabile si dimostra non essere metrizzabile. Allora mi viene naturale pensare che esistono insiemi enormi nei quali tutta la metematica che si può costruire in $N,Z,Q,R,C$ etc etc inveitabilmente fallisce. D'altra parte è evidentemente vero anche il contrario, per esempio in $R$ puoi fare cose che in $Q$ non puoi fare. A questo punto mi sono messo a fantasticare ... "chissà quante cose meravigliose posso fare in $R^J$ che in $R$ non posso fare" oppure "fino a che punto posso allargare l'universo in cui sto lavorando senza perdere una certa proprietà ??" ... e altre cose del genere... insomma un delirio di domande a cui non pretendo di dare risposte... volevo solo vedere se qulcun'altro se le era poste (sempre che siano meritevoli di essere poste (sempre che si possano formalizzare in maniera precisa e non vaga e fumosa come, data la mia ignoranza, me le pongo io... )) xD

[maurer]

Potresti essere interessato a questo, anche se forse è un po' tecnico... Risponde a questa tua domanda:

"perplesso":
ino a che punto posso allargare l'universo in cui sto lavorando senza perdere una certa proprietà ??

La risposta è, in base a quel teorema: fin quando vuoi, a patto che la proprietà sia formalizzabile al prim'ordine.

[perplesso1]

Anche se è un pò tecnico, tutto sommato riesco a capirci qualcosa perche ho gia incontrato alcune volte il concetto di struttura e segnatura, e una volta mi sono anche messo a sfogliare un testo di algebra universale, quindi non è proprio arabo ... e comunque è un teorema molto fico! Grazie!

[maurer]

Figurati!