Insiemi equipotenti
Se A è un insieme infinito, è vero che AxA è equipotente ad A ?
In caso affermativo, riportare una dimostrazione.
Altrimenti dare un controesempio.
Angelo
In caso affermativo, riportare una dimostrazione.
Altrimenti dare un controesempio.
Angelo
Risposte
Il teorema affermato è vero ma la dimostrazione non è fattibile in 4 righe almeno che non si voglia utilizzare l'aritmetica dei numeri cardinali (che io non conosco).
Neanch'io so molto di aritmetica dei cardinali. A quanto leggo qui per questo risultato c'è bisogno dell'assioma della scelta.
Confermo quanto dice Martino, negando l'assioma della scelta è costruibile un insieme infinito non equipotente al suo insieme quadrato cartesiano; affermando l'assioma della scelta ogni insieme infinito è equipotente al suo insieme quadrato cartesiano.
Mi puoi dare la dimostrazione che $AxxA$ è equipotente ad $A$ nel caso che $A$ sia un insieme infinito? La dimostrazione certamente utilizzerà l'assioma della scelta.
E poi vorrei che tu mi costruisca un insieme infinito, non equipotente al suo quadrato cartesiano negando l'assioma della scelta.
Chiedo troppo?
E poi vorrei che tu mi costruisca un insieme infinito, non equipotente al suo quadrato cartesiano negando l'assioma della scelta.
Chiedo troppo?
"j18eos":Non credo che questo sia vero. O meglio, non credo che questo sia dimostrabile. Probabilmente senza l'assioma della scelta l'esistenza di un insieme infinito non equipotente al suo quadrato è indecidibile.
negando l'assioma della scelta è costruibile un insieme infinito non equipotente al suo insieme quadrato cartesiano
Però mi puoi dare la dimostrazione usando l'assioma della scelta? O comunque una pagina web dove ci sia?
Ti posso suggerire dei libri su cui puoi leggerla, riportartela non posso!
ok, grazie.
Però se trovi qualcosa su internet, avvisami.
Però se trovi qualcosa su internet, avvisami.
De Giovanni Franciosi "Elementi di Algebra" Ed. Aracne; nel I capitolo c'è la dimostrazione.
Sulla questione se il negare l'AC si possa costruire un insieme infinito meno potente del suo quadrato cartesiano non né accenna nulla.
Sulla questione se il negare l'AC si possa costruire un insieme infinito meno potente del suo quadrato cartesiano non né accenna nulla.
Ho fatto una ricerca ma sembra che non sia facile trovare una dimostrazione di questo risultato, dovuto a Tarski.
Per ora ho trovato poco, ma qui ho trovato questo:
"For another indication of the controversy that initially surrounded the Axiom of Choice, consider this anecdote (recounted by Jan Mycielski in Notices of the AMS vol. 53 no. 2 page 209). Tarski, one of the early great researchers in set theory and logic, proved that AC is equivalent to the statement that any infinite set X has the same cardinality as the Cartesian product X x X. He submitted his article to Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, where it was refereed by two very famous mathematicians, Fréchet and Lebesgue. Both wrote letters rejecting the article. Fréchet wrote that an implication between two well known truths is not a new result. And Lebesgue wrote that an implication between two false statements is of no interest. Tarski said that he never again submitted a paper to the Comptes Rendus."
Per ora ho trovato poco, ma qui ho trovato questo:
"For another indication of the controversy that initially surrounded the Axiom of Choice, consider this anecdote (recounted by Jan Mycielski in Notices of the AMS vol. 53 no. 2 page 209). Tarski, one of the early great researchers in set theory and logic, proved that AC is equivalent to the statement that any infinite set X has the same cardinality as the Cartesian product X x X. He submitted his article to Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, where it was refereed by two very famous mathematicians, Fréchet and Lebesgue. Both wrote letters rejecting the article. Fréchet wrote that an implication between two well known truths is not a new result. And Lebesgue wrote that an implication between two false statements is of no interest. Tarski said that he never again submitted a paper to the Comptes Rendus."
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