Insiemi equipotenti !!!
Buongiorno,
Siano \(\displaystyle S \) e \(\displaystyle T \) due insiemi equipotenti con più di un elemento. Se \(\displaystyle a \in S \) e \(\displaystyle b\in T \), anche gli insiemi \(\displaystyle S \)\{\(\displaystyle a \)} e \(\displaystyle T \)\{\(\displaystyle b \)} sono equipotenti.
Dimostrazione: Sia \(\displaystyle f : S \rightarrow T \) biettiva, se \(\displaystyle f(a)=b \), per definizione di funzione biettiva anche la restrizione a \(\displaystyle S \)\{\(\displaystyle a \)} e \(\displaystyle T \)\{\(\displaystyle b \)} è biettiva.
Sia \(\displaystyle f(a_1)=b\) ?? con \(\displaystyle a_1 \ne a \). L'applicazione\(\displaystyle g: \) \(\displaystyle S \)\{\(\displaystyle a \)} \(\displaystyle \rightarrow \)\(\displaystyle T \)\{\(\displaystyle b \)} definita ponendo \(\displaystyle g(a_1)=f(a) \), \(\displaystyle g(x)=f(x) \) \(\displaystyle \forall x\ne a_1 \), è biettiva.
Il passaggio che non capisco, è: \(\displaystyle f(a_1)=b \) con \(\displaystyle a_1 \ne a \). Ora per definizione di applicazione tra \(\displaystyle S \) e \(\displaystyle T \) esiste uno ed un solo elemento \(\displaystyle b\in T \) dipendente in generale da \(\displaystyle a \) tale che \(\displaystyle afy \), quindi è assurdo questo passaggio.... c'è qualcosa che non mi torna !!
Ciao
Siano \(\displaystyle S \) e \(\displaystyle T \) due insiemi equipotenti con più di un elemento. Se \(\displaystyle a \in S \) e \(\displaystyle b\in T \), anche gli insiemi \(\displaystyle S \)\{\(\displaystyle a \)} e \(\displaystyle T \)\{\(\displaystyle b \)} sono equipotenti.
Dimostrazione: Sia \(\displaystyle f : S \rightarrow T \) biettiva, se \(\displaystyle f(a)=b \), per definizione di funzione biettiva anche la restrizione a \(\displaystyle S \)\{\(\displaystyle a \)} e \(\displaystyle T \)\{\(\displaystyle b \)} è biettiva.
Sia \(\displaystyle f(a_1)=b\) ?? con \(\displaystyle a_1 \ne a \). L'applicazione\(\displaystyle g: \) \(\displaystyle S \)\{\(\displaystyle a \)} \(\displaystyle \rightarrow \)\(\displaystyle T \)\{\(\displaystyle b \)} definita ponendo \(\displaystyle g(a_1)=f(a) \), \(\displaystyle g(x)=f(x) \) \(\displaystyle \forall x\ne a_1 \), è biettiva.
Il passaggio che non capisco, è: \(\displaystyle f(a_1)=b \) con \(\displaystyle a_1 \ne a \). Ora per definizione di applicazione tra \(\displaystyle S \) e \(\displaystyle T \) esiste uno ed un solo elemento \(\displaystyle b\in T \) dipendente in generale da \(\displaystyle a \) tale che \(\displaystyle afy \), quindi è assurdo questo passaggio.... c'è qualcosa che non mi torna !!
Ciao
Risposte
Data un'applicazione biettiva \( \displaystyle f \colon S \to T \) e presi \( \displaystyle a \in S \) e \( \displaystyle b \in T \), si hanno due possibilità: o è \( \displaystyle f(a) = b \) o è \( \displaystyle f(a_{1}) = b \) per qualche \( \displaystyle a_{1} \ne a \). Non ho però capito chi dovrebbe essere \( \displaystyle h \).
Grazie per la risposta, l'ho modificato 
OK. Adesso sì.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo