Insiemi con due strutture di gruppo : si puo'?
Buongiorno a tutti voi. Nei miei studi, stamane, mi sono imbattuto nella seguente struttura dalla duplice natura, e anche dinamica.
Si tratta di un insieme [tex]X[/tex] equipaggiato con non una, ma due operazioni bin-arie distinte [tex]\cdot[/tex] e [tex]\star[/tex], dimodoche' [tex](X,\cdot)[/tex] e [tex](X,\star)[/tex] siano ambedue gruppi, con la medesima identita' e tali che valga tout court che l'espressione $ a\cdot b \cdot a\cdot b \cdots $ divenga, senz'altro dopo molte iterazioni, $ b\star a $ e, mutatis mutandis, valga anche l'asserzione simmetrica.
La domanda che mi e vi porgo e' di mutare nel rigore di una ineccepibile dimostrazione cio' che l'intuizione mi suggerisce, ovvero che l'oggetto bizzarro che vi ho sottoposto difatti non esista.
Si tratta di un insieme [tex]X[/tex] equipaggiato con non una, ma due operazioni bin-arie distinte [tex]\cdot[/tex] e [tex]\star[/tex], dimodoche' [tex](X,\cdot)[/tex] e [tex](X,\star)[/tex] siano ambedue gruppi, con la medesima identita' e tali che valga tout court che l'espressione $ a\cdot b \cdot a\cdot b \cdots $ divenga, senz'altro dopo molte iterazioni, $ b\star a $ e, mutatis mutandis, valga anche l'asserzione simmetrica.
La domanda che mi e vi porgo e' di mutare nel rigore di una ineccepibile dimostrazione cio' che l'intuizione mi suggerisce, ovvero che l'oggetto bizzarro che vi ho sottoposto difatti non esista.
Risposte
"ruggeroRoy":Puoi spiegarti meglio!
...tali che valga tout court che l'espressione $ a\cdot b \cdot a\cdot b \cdots $ divenga, senz'altro dopo molte iterazioni, $ b\star a $ e, mutatis mutandis, valga anche l'asserzione simmetrica...
Trovo la domanda molto interesante, però concordo anch'io che dovresti spiegarti meglio.
vediamo se ho capito.
prendi un gruppo G qualsiasi non commtativo con operazione $+$
definisco su G questa operazione $*$: $a*b=b+a$
cosi va bene?era quello che avevi in mente?
prendi un gruppo G qualsiasi non commtativo con operazione $+$
definisco su G questa operazione $*$: $a*b=b+a$
cosi va bene?era quello che avevi in mente?
"ruggeroRoy":
Buongiorno a tutti voi. Nei miei studi, stamane, mi sono imbattuto nella seguente struttura dalla duplice natura, e anche dinamica.
Si tratta di un insieme [tex]X[/tex] equipaggiato con non una, ma due operazioni binarie distinte [tex]\cdot[/tex] e [tex]\star[/tex], dimodoche' [tex](X,\cdot)[/tex] e [tex](X,\star)[/tex] siano ambedue gruppi, con la medesima identita' e tali che valga tout court che l'espressione $ a\cdot b \cdot a\cdot b \cdots $ divenga, senz'altro dopo molte iterazioni, $ b\star a $ e, mutatis mutandis, valga anche l'asserzione simmetrica.
Fammi capire:
Tu hai un insieme con la seguente struttura algebrica [tex](X, \cdot,\star, \bullet^{-1}, \bar{\bullet}, 1)[/tex]* in cui valgono le seguenti relazioni:
[tex]\forall a,b \in X[/tex]
[tex](a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)[/tex]
[tex](a\star b)\star c = a\star (b\star c)[/tex]
[tex]a\cdot 1 = a = 1\cdot a[/tex]
[tex]a\star 1 = a = 1\star a[/tex]
[tex]a\cdot a^{-1} = 1 = a^{-1}\cdot a[/tex]
[tex]a\star \bar{a} = 1 = \bar{a}\star a[/tex]
Quindi in altre parole [tex]X[/tex] e gruppo con entrambe le operazioni e [tex]1[/tex] è l'elemento neutro in entrambi i gruppi.
Deve valere inoltre la relazione [tex]\forall a,b \in X,\ (a\cdot b)^m = b\cdot a[/tex] per un qualche [tex]m[/tex] sufficientemente grande. Con asserzione simmetrica intendi con [tex]\star[/tex]al posto di [tex]\cdot[/tex]?
* Ho segnato in quel modo esteso per esplicitare meglio anche inversi e elementi neutri.
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