Insieme totalmente ordinato
Buongiorno,
Sia $ (S,le) $ un insieme totalmente ordinato , e sia $ F $ un insieme non vuoto di parti non vuote si $ S $ tale che $ S=bigcup_{X in F} X $ che la relazione d'ordine indotta da $ le $ su ogni elemento di $ F $ si una relazione di buon ordine. Si supponga inoltre che, se $ X, Y $ sono elementi distinti di $ F $, X è un segmento di $ Y $ oppure $ Y$ è un segmento di $ X $ . Allora $ le $ è una relazione di buon ordine in $ S $.
Dimostrazione
Sia $ E $ una parte non vuota di $ S $.
Allora $**$ $ E = (bigcup_{x in F}X) cap E =(bigcup_{x in F}X cap E) $
1) quindi esiste $ S $ in $ F $ tale che $ X cap E $ diverso dall'insieme vuoto. Poiché la relazione in $ X $ è di buon ordine l'insieme $ X cap E $ ha minimo $ x' $
2) sia $ y$ un elemento di $ (E-(E cap X)) $, allora esiste $ Y $ in $ F $ tale che $ y in Y $. Poiché ogni elemento di $ F $ sono distinti, per cui $ y in (Y-X) $ visto che $ X $ è un segmento $ Y $ quindi ogni elemento di $ y in (Y-X) $ visto che $ X $ è maggiore di ogni elemento di $ X $, è in particolare anche del minimo $ x' $. Pertanto $ x'$ è il minimo di $ E $ e $ le $ è una relazione di buon ordine in $ S $.
.... la mia interpretazione, correggetemi se mi sbaglio, del precedente della lemma é:
siano $ S $ un insieme totalmente ordinato rispetto $ le $ e $ F $ un insieme di insiemi non vuoto di parti di $ S $ tale che la loro unione ci da proprio $ S $ quindi abbiamo tutti gli elementi di $ S $. Sapendo che la relazione è di buon ordine , allora ogni elemento di $ F $ è dotato di minimo, quindi quest'ultimo è unico, ed è il più piccolo di tutti gli elementi della famiglia $ F $.
Cordiali saluti.
Sia $ (S,le) $ un insieme totalmente ordinato , e sia $ F $ un insieme non vuoto di parti non vuote si $ S $ tale che $ S=bigcup_{X in F} X $ che la relazione d'ordine indotta da $ le $ su ogni elemento di $ F $ si una relazione di buon ordine. Si supponga inoltre che, se $ X, Y $ sono elementi distinti di $ F $, X è un segmento di $ Y $ oppure $ Y$ è un segmento di $ X $ . Allora $ le $ è una relazione di buon ordine in $ S $.
Dimostrazione
Sia $ E $ una parte non vuota di $ S $.
Allora $**$ $ E = (bigcup_{x in F}X) cap E =(bigcup_{x in F}X cap E) $
1) quindi esiste $ S $ in $ F $ tale che $ X cap E $ diverso dall'insieme vuoto. Poiché la relazione in $ X $ è di buon ordine l'insieme $ X cap E $ ha minimo $ x' $
2) sia $ y$ un elemento di $ (E-(E cap X)) $, allora esiste $ Y $ in $ F $ tale che $ y in Y $. Poiché ogni elemento di $ F $ sono distinti, per cui $ y in (Y-X) $ visto che $ X $ è un segmento $ Y $ quindi ogni elemento di $ y in (Y-X) $ visto che $ X $ è maggiore di ogni elemento di $ X $, è in particolare anche del minimo $ x' $. Pertanto $ x'$ è il minimo di $ E $ e $ le $ è una relazione di buon ordine in $ S $.
.... la mia interpretazione, correggetemi se mi sbaglio, del precedente della lemma é:
siano $ S $ un insieme totalmente ordinato rispetto $ le $ e $ F $ un insieme di insiemi non vuoto di parti di $ S $ tale che la loro unione ci da proprio $ S $ quindi abbiamo tutti gli elementi di $ S $. Sapendo che la relazione è di buon ordine , allora ogni elemento di $ F $ è dotato di minimo, quindi quest'ultimo è unico, ed è il più piccolo di tutti gli elementi della famiglia $ F $.
Cordiali saluti.
Risposte
Nessuno che mi aiuta ? ! ? ! 
No, la tua interpretazione è diversa dallo statement del lemma 
Ciao,
E' tutto normale che non riuscivo a trarre il giusto significato
comunque se ho un insieme $F$, non vuoto di insiemi di parti non vuote di di $S$ , tali che la loro unione ci da proprio $S$ e ogni elemento di $F$ è distinto e inoltre ogni elemento di $F$ è il segmento dell'altro. Se esiste il minimo in $X cap E$ " ma esiste per via della relazione " questo non è confrontabile con ogni elemento della famiglia $F$ , considerando le ipotesi ?
E' tutto normale che non riuscivo a trarre il giusto significato
comunque se ho un insieme $F$, non vuoto di insiemi di parti non vuote di di $S$ , tali che la loro unione ci da proprio $S$ e ogni elemento di $F$ è distinto e inoltre ogni elemento di $F$ è il segmento dell'altro. Se esiste il minimo in $X cap E$ " ma esiste per via della relazione " questo non è confrontabile con ogni elemento della famiglia $F$ , considerando le ipotesi ?
Una parte consistente delle frasi che hai scritto non sono grammaticalmente corrette, questo rende impossibile capire di cosa tu stia parlando se non per approssimazione. Sebbene certa matematica finta si faccia con le approssimazioni, in questo contesto è deleterio essere imprecisi.
Il claim che vuoi dimostrare è abbastanza chiaro: se un ricoprimento di parti bene ordinate ha anche la proprietà di avere elementi che sono inguainati uno nell'altro, allora l'insieme che coprono è bene ordinato. Ci sono diversi modi di dimostrare questa cosa; la dimostrazione che hai postato tu va come segue: prendi una parte non vuota, vuoi vedere che ammette minimo. C'è certamente un elemento del ricoprimento che la interseca, e in quella intersezione c'è un minimo. Il resto della dimostrazione mira a dimostrare che c'è un minimo anche fuori.
Cosa non ti è chiaro di questo argomento?
Il claim che vuoi dimostrare è abbastanza chiaro: se un ricoprimento di parti bene ordinate ha anche la proprietà di avere elementi che sono inguainati uno nell'altro, allora l'insieme che coprono è bene ordinato. Ci sono diversi modi di dimostrare questa cosa; la dimostrazione che hai postato tu va come segue: prendi una parte non vuota, vuoi vedere che ammette minimo. C'è certamente un elemento del ricoprimento che la interseca, e in quella intersezione c'è un minimo. Il resto della dimostrazione mira a dimostrare che c'è un minimo anche fuori.
Cosa non ti è chiaro di questo argomento?
Cercherò di essere più chiaro possibile.
Ci sono diversi punti, dove nutro delle incertezze.
Partiamo dal primo punto:
$**$$ E = (bigcup_{x in F}X) cap E =(bigcup_{x in F}X cap E) $
La mia interpretazione è :
considerando le varie ipotesi della lemma, si deve far vedere che la relazione $le$ è di buon ordine in $S$, quindi ogni parte non vuota di $S$ è dotata di minimo. Pertanto prendendo una parte $E$ non vuota di $S$ devo far vedere che è dotata di minimo.
L'insieme $S$ è dato da $(bigcup_{x in F}X)$. Sia $E$ una parte non vuota di $S$, devo far vedere che il minimo appartiene sia ad $E$ e $S$, quindi anche $ (bigcup_{x in F}X cap E) $.
Giusta o sbagliata?
Grazie per la bontà di collaborazione
Ci sono diversi punti, dove nutro delle incertezze.
Partiamo dal primo punto:
$**$$ E = (bigcup_{x in F}X) cap E =(bigcup_{x in F}X cap E) $
La mia interpretazione è :
considerando le varie ipotesi della lemma, si deve far vedere che la relazione $le$ è di buon ordine in $S$, quindi ogni parte non vuota di $S$ è dotata di minimo. Pertanto prendendo una parte $E$ non vuota di $S$ devo far vedere che è dotata di minimo.
L'insieme $S$ è dato da $(bigcup_{x in F}X)$. Sia $E$ una parte non vuota di $S$, devo far vedere che il minimo appartiene sia ad $E$ e $S$, quindi anche $ (bigcup_{x in F}X cap E) $.
Giusta o sbagliata?
Grazie per la bontà di collaborazione
"galles90":
Cercherò di essere più chiaro possibile.
Ci sono diversi punti, dove nutro delle incertezze.
Partiamo dal primo punto:
$**$$ E = (bigcup_{x in F}X) cap E =(bigcup_{x in F}X cap E) $
La mia interpretazione è :
considerando le varie ipotesi della lemma, si deve far vedere che la relazione $le$ è di buon ordine in $S$, quindi ogni parte non vuota di $S$ è dotata di minimo. Pertanto prendendo una parte $E$ non vuota di $S$ devo far vedere che è dotata di minimo.
L'insieme $S$ è dato da $(bigcup_{x in F}X)$. Sia $E$ una parte non vuota di $S$, devo far vedere che il minimo appartiene sia ad $E$ e $S$, quindi anche $ (bigcup_{x in F}X cap E) $.
Giusta o sbagliata?
Grazie per la bontà di collaborazione
No, dice una cosa estremamente più semplice: se $E\subseteq S$ allora $E\cap S=E$. Del resto $E\cap S = E\cap \bigcup X = \bigcup E\cap X$ (un ricoprimento di $S$ è un ricoprimento di un qualsiasi suo sottoinsieme). Also, la cosa evidenziata è la fonte della confusione secondo me. E' evidente che un elemento di $E\cap S$ sia un elemento di $E$.
Perfetto tutto chiaro,eccetto per l'osservazione che mi hai fatto notare.
Cioè il minimo di $E$ non deve essere uguale al minimo dell'intero ricoprimento di $S$
Cioè il minimo di $E$ non deve essere uguale al minimo dell'intero ricoprimento di $S$
Ma la dimostrazione ti è chiara? Intendo: il fatto che poi vai a controllare che il minimo di $X\cap E$, che esiste per ipotesi, è anche minimo in \(E\setminus (X\cap E)\)?
Detto per inciso, ci sono probabilmente dei modi più eleganti e chiari di dimostrare questo fatto, per esempio usando il lemma di Zorn, oppure dimostrando, per assurdo, che l'$x'$ che hai trovato è anche minimo in \(E\setminus (X\cap E)\).
Detto per inciso, ci sono probabilmente dei modi più eleganti e chiari di dimostrare questo fatto, per esempio usando il lemma di Zorn, oppure dimostrando, per assurdo, che l'$x'$ che hai trovato è anche minimo in \(E\setminus (X\cap E)\).
Questa prima parte mi è chiarissima,
Invece quando dici:
non mi torna, cioè se dimostro per assurdo, come nella seconda parte, allora deve essere assurda anche la prima, quindi il minimo non deve appartenere a $E-(X cap E) $
"killing_buddha":
Ma la dimostrazione ti è chiara? Intendo: il fatto che poi vai a controllare che il minimo di $ X\cap E $, che esiste per ipotesi, è anche minimo in \( E\setminus (X\cap E) \)?
Invece quando dici:
"killing_buddha":
Detto per inciso, ci sono probabilmente dei modi più eleganti e chiari di dimostrare questo fatto, per esempio usando il lemma di Zorn, oppure dimostrando, per assurdo, che l'$ x' $ che hai trovato è anche minimo in \( E\setminus (X\cap E) \).
non mi torna, cioè se dimostro per assurdo, come nella seconda parte, allora deve essere assurda anche la prima, quindi il minimo non deve appartenere a $E-(X cap E) $
Se è come la prima parte, è tutto chiaro !
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