Insieme prodotto, dim. uguaglianza

[Seneca1]

Salve.

Devo dimostrare una uguaglianza di questo tipo:

$ A xx B = U_(a in A) ( {a} xx B ) $

Il secondo membro si legge "la riunione degli ${a} xx B$ con $a in A$ " e intuitivamente è banale: basti pensare al prodotto cartesiano $A xx B$ come a un quadro in cui, se $A$ consta di un solo elemento ( $a_1$ ), il quadro ha una sola riga:

$( a_1, b_1 )$ _ $ ( a_1, b_2 )$ _ $...$ _ $ ( a_1, b_n )$

Se $A$ ha due elementi ( p.es. $a_1, a_2$ ), il quadro avrà due righe:

$( a_1, b_1 )$ _ $ ( a_1, b_2 )$ _ $...$ _ $ ( a_1, b_n )$

$( a_2, b_1 )$ _ $ ( a_2, b_2 )$ _ $...$ _ $ ( a_2, b_n )$

Se $A$ ha $n$ elementi, ottengo un quadro del tipo:



$( a_1, b_1 )$ _ $ ( a_1, b_2 )$ _ $...$ _ $ ( a_1, b_n )$

$( a_2, b_1 )$ _ $ ( a_2, b_2 )$ _ $...$ _ $ ( a_2, b_n )$

$...$

$( a_n, b_1 )$ _ $ ( a_n, b_2 )$ _ $...$ _ $ ( a_n, b_n )$




Chiamando $R_1, R_2 , ..., R_n$ gli insiemi che contengono gli elementi risp. della prima, seconda, ..., n-esima riga , $U_(a in A) ( {a} xx B )$ non è altro che la riunione degli $n$ insiemi "riga" $R_1, R_2 , ..., R_n$. Cioè il prodotto cartesiano $A xx B$.

Intuito come funzionano le cose (banale), come si procede per una dimostrazione rigorosa?

[Paolo902]

Salve a te Seneca, piacere di risentirti.

Di solito, per dimostrare in maniera rigorosa l'uguaglianza tra due insiemi, si usa il metodo della doppia inclusione: ne hai mai sentito parlare? Hai provato ad applicarlo in questo caso?

[Seneca1]

"Paolo90":Salve a te Seneca, piacere di risentirti.

Di solito, per provare l'uguaglianza tra due insiemi, si usa il metodo della doppia inclusione: ne hai mai sentito parlare? Hai provato ad applicarlo in questo caso?

Ciao Paolo. Piacere mio.

Sì. Non è la proprietà seguente?

$A sube B ^^ B sube A hArr A = B$

Giusto?

Come si può applicare in questo caso? Non so che forma dare agli elementi dell'insieme a secondo membro...

[Paolo902]

"Seneca":

Ciao Paolo. Piacere mio.

Sì. Non è la proprietà seguente?

$A sube B ^^ B sube A hArr A = B$

Giusto?

Sì, esatto.

"Seneca":Come si può applicare in questo caso? Non so che forma dare agli elementi dell'insieme a secondo membro...

Mmm, non lo so, ci provo. Proviamo a dimostrare un'inclusione, l'altra dovrebbe essere più o meno simile. Detto $J=uuu_{a in A} ({a} times B)$, noi vogliamo provare che $A times B subseteq J$, cioè che preso comunque un $x in A times B => x in J$. Per assurdo, se $x notin J$ significa che $x$ non sta nell'unione dei ${a} times B$ al variare di $a in A$. Per definizione di unione, ciò equivale a dire che $x$ non sta in nessuno degli ${a} times B$ (se stesse anche in uno solo starebbe pure nell'unione, mi segui?). In altre parole, non esiste un $a in A$ tale che $x in {a} times B$: ma ciò è assurdo, perchè $x$ è - per ipotesi - un elemento del prodotto cartesiano e quindi è una coppia ordinata formata da un elemento di $A$ e da un elemento di $B$.

Spero di essermi spiegato bene e soprattutto che quanto ho scritto non contenga errori.

P.S. Ah, dimenticavo. Forse ti può essere utile: se digiti \$ uuu_{a in A} \$ (in MathML) ottieni $uuu_{a in A}$ che è il simbolo che ti serve nella prima riga.

[Seneca1]

"Paolo90":[quote="Seneca"]

Ciao Paolo. Piacere mio.

Sì. Non è la proprietà seguente?

$A sube B ^^ B sube A hArr A = B$

Giusto?

Sì, esatto.

"Seneca":Come si può applicare in questo caso? Non so che forma dare agli elementi dell'insieme a secondo membro...

Mmm, non lo so, ci provo. Proviamo a dimostrare un'inclusione, l'altra dovrebbe essere più o meno simile. Detto $J=uuu_{a in A} ({a} times B)$, noi vogliamo provare che $A times B subseteq J$, cioè che preso comunque un $x in A times B => x in J$. Per assurdo, se $x notin J$ significa che $x$ non sta nell'unione dei ${a} times B$ al variare di $a in A$. Per definizione di unione, ciò equivale a dire che $x$ non sta in nessuno degli ${a} times B$ (se stesse anche in uno solo starebbe pure nell'unione, mi segui?). In altre parole, non esiste un $a in A$ tale che $x in {a} times B$: ma ciò è assurdo, perchè $x$ è - per ipotesi - un elemento del prodotto cartesiano e quindi è una coppia ordinata formata da un elemento di $A$ e da un elemento di $B$.

Spero di essermi spiegato bene e soprattutto che quanto ho scritto non contenga errori.

P.S. Ah, dimenticavo. Forse ti può essere utile: se digiti \$ uuu_{a in A} \$ (in MathML) ottieni $uuu_{a in A}$ che è il simbolo che ti serve nella prima riga.[/quote]

Ti sei spiegato molto bene (come sempre, da quanto ricordo!). Grazie mille.

[Paolo902]

"Seneca":

Ti sei spiegato molto bene (come sempre, da quanto ricordo!). Grazie mille.

Grazie a te.
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