Insieme di funzioni da $X$ a $Y$ ovvero: $Y^X$
Ciao a tutti.
Vorrei farvi delle domande:
Dati 2 insiemi $X, Y$, l'insieme di tutte le funzioni da $X$ a $Y$ si indica con $Y^X$. Ok!
Pero' se mi trovo $2^X$? cosa significa? è l'insieme di tutte le funzioni da $X$ a $2$? o a un insieme di $2$ elementi (cardinalita')? Ho visto scritto (sui miei appunti) )$2^X={Y:Y\subsetX}$ cosa vuol dire? che $2^X$ è un insieme di tutti i possibili sottoinsiemi $Y$ di $X$? eeeh? ma non dovrebbe essere un insieme div funzioni?
GRazie
Vorrei farvi delle domande:
Dati 2 insiemi $X, Y$, l'insieme di tutte le funzioni da $X$ a $Y$ si indica con $Y^X$. Ok!
Pero' se mi trovo $2^X$? cosa significa? è l'insieme di tutte le funzioni da $X$ a $2$? o a un insieme di $2$ elementi (cardinalita')? Ho visto scritto (sui miei appunti) )$2^X={Y:Y\subsetX}$ cosa vuol dire? che $2^X$ è un insieme di tutti i possibili sottoinsiemi $Y$ di $X$? eeeh? ma non dovrebbe essere un insieme div funzioni?
GRazie
Risposte
C'è un isomorfismo, in buona sostanza dato un insieme \(X\) ogni elemento può appartenere o non appartenere ad un generico sottoinsieme. Non a caso il numero di sottoinsiemi di un insieme \(X\) è \(2^{\text{card}(X)}\).
Prova ad esplicitare l'isomorfismo che c'è tra il set delle funzioni da \(X\) verso \(\{0, 1\}\) e il set dei sottoinsiemi di \(X\).
Prova ad esplicitare l'isomorfismo che c'è tra il set delle funzioni da \(X\) verso \(\{0, 1\}\) e il set dei sottoinsiemi di \(X\).
Ciao,
mi stai dicendo che nel caso di $Y^X$ c'è una relazione biunivoca, bigettiva tra $X$ e $Y$?
Quindi nel caso di ${1,0}^X$ c'è una bigezzione tra i 2 insiemi che mi permette di legare ogni $x\inX$ a $1$ oppure $0$ e viceversa?
mi stai dicendo che nel caso di $Y^X$ c'è una relazione biunivoca, bigettiva tra $X$ e $Y$?
Quindi nel caso di ${1,0}^X$ c'è una bigezzione tra i 2 insiemi che mi permette di legare ogni $x\inX$ a $1$ oppure $0$ e viceversa?
No, \(Y^X\) come avevi ben detto all'inizio denota l'insieme delle funzioni \(X \to Y\). Quello che dicevo io è che esiste una bijezione tra \(2^X\) e l'insieme delle parti di \(X\), ovvero l'insieme di tutti i suoi sottoinsiemi, dove quel \(2\) indica un set di cardinalità \(2\).
Prendendo ad esempio \(X = \{a, b, c\}\) tra i vari morfismi \(X \to \{0, 1\}\) hai ad esempio
\(f: X \to \{0, 1\}\)
\(f: \begin{cases} a \to 1 \\ b \to 1 \\ c \to 0\end{cases}\)
allora puoi pensare ad esempio che essere associati ad \(1\) significhi essere compreso in un sottoinsieme e l'inverso per \(0\).
Quindi potresti associare la precedente funzione al sottoinsieme \(\{a, b\}\).
Quello che ti chiedevo prima era di esplicitare una funzione bijettiva \(2^X \to P(X)\)
Prendendo ad esempio \(X = \{a, b, c\}\) tra i vari morfismi \(X \to \{0, 1\}\) hai ad esempio
\(f: X \to \{0, 1\}\)
\(f: \begin{cases} a \to 1 \\ b \to 1 \\ c \to 0\end{cases}\)
allora puoi pensare ad esempio che essere associati ad \(1\) significhi essere compreso in un sottoinsieme e l'inverso per \(0\).
Quindi potresti associare la precedente funzione al sottoinsieme \(\{a, b\}\).
Quello che ti chiedevo prima era di esplicitare una funzione bijettiva \(2^X \to P(X)\)
ok, forse ora ho un idea piu' chiara. provo a ricapitolare:
è un po' come definire $X$ come insieme di tutti gli ingredienti per cucinare (farina, olio, spezie, ecc) e ${0,1}^X$ potrebbero essere funzioni che legano i vari sottoinsiemi di $X$ al valore $1$ se vanno in una ricetta altrimenti, se non servono $0$.
Quindi, per ogni ricetta ci sarebbe un sottoinsieme di ingredienti necessari, legati!
Quindi ogni sottoinsieme di ingredienti sarebbe in bigezzione con la funzione che lo lega ad una ricetta. ?? dove la ricetta è la funzione. Ad esempio la funzione "arancini di riso" avra' un sottinsieme di ingredienti dato da (non so, non sono uno chef): {riso, piselli, carne....ecc}. no?
è un po' come definire $X$ come insieme di tutti gli ingredienti per cucinare (farina, olio, spezie, ecc) e ${0,1}^X$ potrebbero essere funzioni che legano i vari sottoinsiemi di $X$ al valore $1$ se vanno in una ricetta altrimenti, se non servono $0$.
Quindi, per ogni ricetta ci sarebbe un sottoinsieme di ingredienti necessari, legati!
Quindi ogni sottoinsieme di ingredienti sarebbe in bigezzione con la funzione che lo lega ad una ricetta. ?? dove la ricetta è la funzione. Ad esempio la funzione "arancini di riso" avra' un sottinsieme di ingredienti dato da (non so, non sono uno chef): {riso, piselli, carne....ecc}. no?
"BoG":
è un po' come definire $X$ come insieme di tutti gli ingredienti per cucinare[..]
Quindi ogni sottoinsieme di ingredienti sarebbe in bigezzione con la funzione che lo lega ad una ricetta. ?? dove la ricetta è la funzione. Ad esempio la funzione "arancini di riso" avra' un sottinsieme di ingredienti dato da (non so, non sono uno chef): {riso, piselli, carne....ecc}. no?
Mi sono un po' perso, comunque "arancini di riso" puoi rappresentarlo in due modi, o come sottoinsieme degli ingredienti(cioè {riso, piselli, carne}) o come una funzione che associa a riso, piselli e carne il valore 1 e a tutti gli altri ingredienti 0. Allo stesso modo puoi fare con tutti gli altri sottoinsiemi dell'insieme ingredienti, quindi per ogni sottoinsieme hai una funzione e per ogni funzione hai un sottoinsieme.
Ora tralasciando la metafora del cibo, sia \(X\) un insieme generico. Allora la funzione
\(\phi: \{0, 1\}^X \to P(X)\)
\(\phi(f) = \{x \in X \mid f(x) = 1\}\)
è una bijection(provalo).
Giusto per aggiungere un po' di pepe, la funzione inversa potresti scriverla usando la notazione lambda come
\(\sigma: P(X) \to \{0, 1\}^X\)
\(\sigma(S) = \lambda x . \begin{cases} 1 & x \in S \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\)
(non è molto difficile da capire, l'output di sigma è una funzione che prende come input x e restituisce quello che c'è dopo il punto).
P.S. Le metafore con il cibo mi mettono sempre fame, ma data l'ora..
P.P.S. \(2\) è un generico set di due elementi, potrebbe essere anche il set patate e cipolle, il fatto che uso 0 e 1 è del tutto arbitrario.
grazie della rispsota, penso di aver capito.
altra domanda, se posso:
Quindi $\chi$ associa ad ogni elemento $x\inX$ o $0$ o $1$.
Ma una funzione è invertibile solo e soltanto se è bigettiva e se non ho capito male , mettendo assieme cio che hai detto tu:
con questo:
$\phi := 2^X\to{0,1}^X$, dove $A\in"^X$ e $\chi_A\in{0,1}^X$, con $\chi_A(x):={(0 if x\notinA),(1 if x in A):}$
Potrei scrivere che la tua \( \phi\) è l'inversa della mia $\phi$ ?
altra domanda, se posso:
Quindi $\chi$ associa ad ogni elemento $x\inX$ o $0$ o $1$.
Ma una funzione è invertibile solo e soltanto se è bigettiva e se non ho capito male , mettendo assieme cio che hai detto tu:
"hyoukarou":
la funzione
\( \phi: \{0, 1\}^X \to P(X) \)
\( \phi(f) = \{x \in X \mid f(x) = 1\} \)
con questo:
$\phi := 2^X\to{0,1}^X$, dove $A\in"^X$ e $\chi_A\in{0,1}^X$, con $\chi_A(x):={(0 if x\notinA),(1 if x in A):}$
Potrei scrivere che la tua \( \phi\) è l'inversa della mia $\phi$ ?
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