Insieme dei numeri algebrici
Ciao ragazzi... stavo analizzando alcune proprietà di $bar QQ$, l'insieme dei numeri algebrici,
a)$bar QQ$ è un insieme numerabile: vero, infatti l'insieme dei polinomi a coefficienti interi (o razionali) è numerabile e le soluzioni di ciascun polinomio sono in numero finito; poi basta pensare al fatto che l'insieme di tutte le soluzioni è a sua volta numerabile e ho dimostrato l'asserto.
Per le prossime affermazioni, invece, ho alcuni dubbi.
b)$bar QQ$ è sottocampo di $CC$
c)$QQ sub bar QQ$ è un'estensione algebrica di grado infinito. Ho pensato al fatto che ogni estensione trascendente è infinita, ma non so coem andare avanti.
d)ogni elemento di $CC\\barQQ$ è trascendente su $bar QQ$
Grazie a chi mi vorrà aiutare
a)$bar QQ$ è un insieme numerabile: vero, infatti l'insieme dei polinomi a coefficienti interi (o razionali) è numerabile e le soluzioni di ciascun polinomio sono in numero finito; poi basta pensare al fatto che l'insieme di tutte le soluzioni è a sua volta numerabile e ho dimostrato l'asserto.
Per le prossime affermazioni, invece, ho alcuni dubbi.
b)$bar QQ$ è sottocampo di $CC$
c)$QQ sub bar QQ$ è un'estensione algebrica di grado infinito. Ho pensato al fatto che ogni estensione trascendente è infinita, ma non so coem andare avanti.
d)ogni elemento di $CC\\barQQ$ è trascendente su $bar QQ$
Grazie a chi mi vorrà aiutare
Risposte
Per la parte b si devono verificare una per una le proprietà di campo.
Le proprietà associative, commutative e distributiva sono scontate, poichè valgono in $CC$; gli elementi neutri $0$ e $1$ sono naturalmente algebrici.
La parte interessante è mostrare che se un numero è algebrico, anche il suo opposto e il suo reciproco lo sono.
Cominciamo col considerare un polinomio $a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +...+a_n x^n $, sia $bar x$ una sua radice.
1. Costruiamo a partire dal polinomio dato un altro polinomio, che abbia tra le radici $- bar x$. Basta cambiare i segni dei coefficienti delle potenze dispari del polinomio: $a_0 -a_1 x +a_2 x^2 -a_3 x^3 +...$
2. Notiamo che $1/(bar x)$ è soluzione dell'equazione: $a_0 +a_1 x^(-1) +a_2 x^(-2) +...+a_n x^(-n) =0$. Quindi...
P.s.: In effetti, leggendo il post di Panurge mi sono accorto che questo non è ancora sufficiente.
Le proprietà associative, commutative e distributiva sono scontate, poichè valgono in $CC$; gli elementi neutri $0$ e $1$ sono naturalmente algebrici.
La parte interessante è mostrare che se un numero è algebrico, anche il suo opposto e il suo reciproco lo sono.
Cominciamo col considerare un polinomio $a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +...+a_n x^n $, sia $bar x$ una sua radice.
1. Costruiamo a partire dal polinomio dato un altro polinomio, che abbia tra le radici $- bar x$. Basta cambiare i segni dei coefficienti delle potenze dispari del polinomio: $a_0 -a_1 x +a_2 x^2 -a_3 x^3 +...$
2. Notiamo che $1/(bar x)$ è soluzione dell'equazione: $a_0 +a_1 x^(-1) +a_2 x^(-2) +...+a_n x^(-n) =0$. Quindi...
P.s.: In effetti, leggendo il post di Panurge mi sono accorto che questo non è ancora sufficiente.
ihihih, questo è l'argomento della mia tesi triennale...
Il punto a) l'hai già risolto, quindi direi che va bene così.
b) C'è un risultato generale che dice: Se hai un campo $F$ e una sua estensione $E$, allora gli elementi di $E$ algebrici su $F$ sono un sottocampo di $E$. Come corollario, hai che i numeri algebrici sono un campo.
Siano infatti $a$ e $b$ algebrici su $F$. Siano $n$ e $m$ i gradi dei rispettivi polinomi minimi. Dobbiamo dimostrare che $a+b$, $ab$, $a-b$ e $a/b$ sono algebrici su $F$. Il fatto è che appartengono tutti a $F(a,b)$, che è una estensione di grado minore o uguale a $nm$. In quanto ogni estensione finita è algebrica, $F(a,b)$ contiene solo elementi algebrici su $F$. Segue la tesi.
c) ogni estensione finita è algebrica. ossia, ogni estensione trascendente è infinita. Questo punto è un buon controesempio, che ci fa vedere che una estensione algebrica può essere infinita. La dimostrazione si basa sul fatto che, assumendo che il campo dei numeri algebrici sia di grado finito $n$ sui razionali, è sempre possibile trovare un numero, come la radice $n+1$-esima di $2$, che è radice di un polinomio irriducibile di grado maggiore di $n$.
d) Per dimostrare questo punto basta dimostrare che i numeri algebrici sono algebricamente chiusi. Infatti, da questo segue che ogni cosa che non appartiene ai numeri algebrici deve essere trascendente sui numeri algebrici...
Sia $f$ un polinomio a coefficienti algebrici. Siano $a_1 .... a_n$ i suoi coefficienti. L'estensione $K=Q(a_1 .... a_n)$ è sicuramente di grado finito. Sia poi $s$ una radice di $f$. Poichè è radice di un polinomio in $K$, è algebrico su $K$. Dunque l'estensione $[K(s):K]$ è finita. Abbiamo dunque che $[K(s):Q] = [K(s):K] [K] < \infty$. Dunque l'estensione composta è finita, algebrica, e $s$ è algebrico. Data l'arbitrarietà di $s$ e di $f$, segue la tesi.
Spero di essere stato utile. Ciao!
Il punto a) l'hai già risolto, quindi direi che va bene così.
b) C'è un risultato generale che dice: Se hai un campo $F$ e una sua estensione $E$, allora gli elementi di $E$ algebrici su $F$ sono un sottocampo di $E$. Come corollario, hai che i numeri algebrici sono un campo.
Siano infatti $a$ e $b$ algebrici su $F$. Siano $n$ e $m$ i gradi dei rispettivi polinomi minimi. Dobbiamo dimostrare che $a+b$, $ab$, $a-b$ e $a/b$ sono algebrici su $F$. Il fatto è che appartengono tutti a $F(a,b)$, che è una estensione di grado minore o uguale a $nm$. In quanto ogni estensione finita è algebrica, $F(a,b)$ contiene solo elementi algebrici su $F$. Segue la tesi.
c) ogni estensione finita è algebrica. ossia, ogni estensione trascendente è infinita. Questo punto è un buon controesempio, che ci fa vedere che una estensione algebrica può essere infinita. La dimostrazione si basa sul fatto che, assumendo che il campo dei numeri algebrici sia di grado finito $n$ sui razionali, è sempre possibile trovare un numero, come la radice $n+1$-esima di $2$, che è radice di un polinomio irriducibile di grado maggiore di $n$.
d) Per dimostrare questo punto basta dimostrare che i numeri algebrici sono algebricamente chiusi. Infatti, da questo segue che ogni cosa che non appartiene ai numeri algebrici deve essere trascendente sui numeri algebrici...
Sia $f$ un polinomio a coefficienti algebrici. Siano $a_1 .... a_n$ i suoi coefficienti. L'estensione $K=Q(a_1 .... a_n)$ è sicuramente di grado finito. Sia poi $s$ una radice di $f$. Poichè è radice di un polinomio in $K$, è algebrico su $K$. Dunque l'estensione $[K(s):K]$ è finita. Abbiamo dunque che $[K(s):Q] = [K(s):K] [K] < \infty$. Dunque l'estensione composta è finita, algebrica, e $s$ è algebrico. Data l'arbitrarietà di $s$ e di $f$, segue la tesi.
Spero di essere stato utile. Ciao!
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