Iniettivita' e Suriettivita' di una funzione
Ragazzi ho difficolta' nel dimostrare formalmente l'iniettivita' e la suriettivita' della seguente funzione:
$f: R -> R$ definita da $x ->x^2+x-3$
mi dareste una mano?
$f: R -> R$ definita da $x ->x^2+x-3$
mi dareste una mano?
Risposte
Suggerimento:
-per verificare l'iniettività, controlla se la funzione è strettamente monotona...
-mentre per la suriettività, puoi semplicemente trovarti l'inversa della funzione, cioè $x=g(y)$, e studiarti il dominio in cui è definita, esso coinciderà con l'immagine di $y=f(x)$ ....
-per verificare l'iniettività, controlla se la funzione è strettamente monotona...
-mentre per la suriettività, puoi semplicemente trovarti l'inversa della funzione, cioè $x=g(y)$, e studiarti il dominio in cui è definita, esso coinciderà con l'immagine di $y=f(x)$ ....
Quindi, correggimi se sbaglio la funzione non e' ne iniettiva ne suriettiva
Si, hai detto bene!
alexp scusa la mia ignoranza ma vorrei chiederti come si fa a vedere se una funzione è strettamente monotona e come si calcola l'inversa della funzione.. grazie
Semplicemente applicando la definizione per la monotonia... pensaci bene.
l'inversa non si può calcolare, poichè la funzione è stato già detto che non è bigettiva...!
l'inversa non si può calcolare, poichè la funzione è stato già detto che non è bigettiva...!
Volendo si potrebbe dimostrare che la funzione è ingettiva applicando la definizione stessa in forma equivalente, cioè:
per ogni $ x, y in R $ se $ f(x)=f(y) => x=y$
Dunque si dovrebbe avere:
$x^2+x-3 = y^2+y-3$
i termini noti si annullano tra loro, ma poi non so continuare con i conti! chi mi da una mano?
per ogni $ x, y in R $ se $ f(x)=f(y) => x=y$
Dunque si dovrebbe avere:
$x^2+x-3 = y^2+y-3$
i termini noti si annullano tra loro, ma poi non so continuare con i conti! chi mi da una mano?
"xsl":
Volendo si potrebbe dimostrare che la funzione è ingettiva
Ma la funzione NON è iniettiva... quindi direi che basta un controesempio: $f(0)=f(-1)=-3$. E così chiudo velocemente la questione.
No?
A questo punto io ti dico che basterebbe scrivere che la funzione è un polinomio che ha 2 radici reali e per cui f(x1)=f(x2)=0 con x1 diverso da x2!
La traccia da quanto ho capito richiede una dimostrazione formale, perciò io ho proposto l'uso della definizione di ingettività...
La traccia da quanto ho capito richiede una dimostrazione formale, perciò io ho proposto l'uso della definizione di ingettività...
Scusa, ma non capisco.
Non c'è speranza di verificare quello che hai scritto tu nel tuo post precedente: la funzione, infatti, non è iniettiva. E quella che hai scritto tu è proprio la condizione di iniettività. Quindi, non capisco che cosa vuoi dire, scusa.
Quanto dici tu (la traccia richiede dimostrazione formale) è perfettamente vero se fosse stato richiesto di dimostrare che la funzione è iniettiva. Ma per dimostrare che una funzione non è iniettiva basta un controesempio.
Non c'è speranza di verificare quello che hai scritto tu nel tuo post precedente: la funzione, infatti, non è iniettiva. E quella che hai scritto tu è proprio la condizione di iniettività. Quindi, non capisco che cosa vuoi dire, scusa.
Quanto dici tu (la traccia richiede dimostrazione formale) è perfettamente vero se fosse stato richiesto di dimostrare che la funzione è iniettiva. Ma per dimostrare che una funzione non è iniettiva basta un controesempio.
Ok te dici che basta un controesempio!
Però a lezione ho visto che il prof. in alcuni esercizi ha dimostrato che una funzione non è ingettiva usando la definizione stessa.
Però a lezione ho visto che il prof. in alcuni esercizi ha dimostrato che una funzione non è ingettiva usando la definizione stessa.
Ah sì, certo, non lo metto in dubbio. Ad esempio, è semplice far vedere che $y=x^2$ non è iniettiva perchè $x_1^2=x_2^2$ non implica (in $RR$) $x_1=x_2$, ma $x_1=+-x_2$. Quindi la $f$ non è iniettiva.
Però secondo me, in certi casi, come questo, è molto più semplice con un controesempio...
Però secondo me, in certi casi, come questo, è molto più semplice con un controesempio...
Ma se è proprio questo il bello delle "non implicazioni", ovvero che basta un controesempio!
"Gatto89":
Ma se è proprio questo il bello delle "non implicazioni", ovvero che basta un controesempio!
Menomale che c'è qualcuno che mi capisce
... mi sento meglio 
.Grazie, Gatto
"xsl":
Ok te dici che basta un controesempio!
Però a lezione ho visto che il prof. in alcuni esercizi ha dimostrato che una funzione non è ingettiva usando la definizione stessa.
Attenzione alle parole che si usano.
Anche con un controesempio si usa la definizione: anzi, è il modo più puro di usare una definizione.
La definizione di iniettività è
Data $f(cdot):RR to RR$, $f(cdot)$ è iniettiva sse (*) $\forall x_1, x_2 in RR, f(x_1)=f(x_2) => x_1=x_2$.
Negare quella definizione significa negare (*), e la negazione di (*) è $\exists x_1,x_2 in RR : f(x_1)=f(x_2) ^^^ x_1!=x_2$.
Quindi il controesempio è il modo più puro per provare la non iniettività.
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