Iniettività e suriettività
Salve a tutti,
ho un dubbio riguardante l'iniettività e la suriettività di una funzione.
Dati due insiemi finiti , si può determinare se la funzione è iniettiva se : il numero di elementi di a è <= degli elementi di b
suriettiva se gli elementi di a sono >= di quelli di b, biettiva se gli elementi di a sono uguali agli elementi di b.
Qualora invece abbia due insiemi infiniti?
faccio riferimento a questo esercizio
Se avessi due insiemi finiti conterei gli elementi di a e di b e determinerei le risposte, ma cosi??
E' sbagliato dire che dato che gli elementi in z sono infiniti , allora il numero di elementi dell'insieme z è uguale al numero di elementi dell'insieme z e quindi la funzione è biettiva??
Grazie a tutti
ho un dubbio riguardante l'iniettività e la suriettività di una funzione.
Dati due insiemi finiti , si può determinare se la funzione è iniettiva se : il numero di elementi di a è <= degli elementi di b
suriettiva se gli elementi di a sono >= di quelli di b, biettiva se gli elementi di a sono uguali agli elementi di b.
Qualora invece abbia due insiemi infiniti?
faccio riferimento a questo esercizio
la funzione f : Z ! Z, f(z) = 2z + 1 `e iniettiva? è suriettiva?
Se avessi due insiemi finiti conterei gli elementi di a e di b e determinerei le risposte, ma cosi??
E' sbagliato dire che dato che gli elementi in z sono infiniti , allora il numero di elementi dell'insieme z è uguale al numero di elementi dell'insieme z e quindi la funzione è biettiva??
Grazie a tutti
Risposte
"paloppa":
E' sbagliato dire che dato che gli elementi in z sono infiniti , allora il numero di elementi dell'insieme z è uguale al numero di elementi dell'insieme z e quindi la funzione è biettiva??
Sì: è sbagliato.
Ed è sbagliato per due motivi.
Motivo numero 1: le condizioni che ti sono state date per stabilire se una certa applicazione tra due insiemi finiti è iniettiva, suriettiva o biettiva sono solo condizioni necessarie, non sufficienti. E.g.: se io ho \( S = \{ a,b,c \} \) e \( T = \{ 1,2,3 \} \), allora ho due insiemi con lo stesso numero di elementi ma questo non significa che di conseguenza tutte le applicazioni di \(S\) in \(T\) sono biettive; e.g. l'applicazione che manda sia \(a\) sia \(b\) sia \(c\) in \(1\) non è né iniettiva, né suriettiva e, per tanto, nemmeno biettiva.
Motivo numero 2: esistono diversi ordini di infinito. Lo so che può sembrare una cosa senza senso ma è così: gli infiniti non sono tutti uguali. Ci sono alcuni infiniti che sono più potenti di altri.
Facendo quindi riferimento al tuo specifico esercizio, data \( f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) con \( f(z) = 2z + 1 \), per stabilire se questa applicazione è biettiva devi stabilire se è iniettiva e suriettiva, per stabilire se è iniettiva devi stabilire se per \( z_{1} \neq z_{2} \) risulta \( f(z_{1}) \neq f(z_{2}) \) e per stabilire se è suriettiva devi stabilire se è \( \text{Im}(f)=\mathbb{Z} \).
"G.D.":
[quote="paloppa"]
E' sbagliato dire che dato che gli elementi in z sono infiniti , allora il numero di elementi dell'insieme z è uguale al numero di elementi dell'insieme z e quindi la funzione è biettiva??
Sì: è sbagliato.
Ed è sbagliato per due motivi.
Motivo numero 1: le condizioni che ti sono state date per stabilire se una certa applicazione tra due insiemi finiti è iniettiva, suriettiva o biettiva sono solo condizioni necessarie, non sufficienti. E.g.: se io ho \( S = \{ a,b,c \} \) e \( T = \{ 1,2,3 \} \), allora ho due insiemi con lo stesso numero di elementi ma questo non significa che di conseguenza tutte le applicazioni di \(S\) in \(T\) sono biettive; e.g. l'applicazione che manda sia \(a\) sia \(b\) sia \(c\) in \(1\) non è né iniettiva, né suriettiva e, per tanto, nemmeno biettiva.
Motivo numero 2: esistono diversi ordini di infinito. Lo so che può sembrare una cosa senza senso ma è così: gli infiniti non sono tutti uguali. Ci sono alcuni infiniti che sono più potenti di altri.
Facendo quindi riferimento al tuo specifico esercizio, data \( f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) con \( f(z) = 2z + 1 \), per stabilire se questa applicazione è biettiva devi stabilire se è iniettiva e suriettiva, per stabilire se è iniettiva devi stabilire se per \( z_{1} \neq z_{2} \) risulta \( f(z_{1}) \neq f(z_{2}) \) e per stabilire se è suriettiva devi stabilire se è \( \text{Im}(f)=\mathbb{Z} \).[/quote]
Grazie della risposta,ma non esiste quindi una regola qualora gli insiemi siano infiniti? Devo sempre fare z1 diverso da z2 per esempio? Grazie
Io ho provato a porre per esempio \(\displaystyle z1 = 1 , z2= 2 \) oppure \(\displaystyle z1=4 , z2 = 5 \) , ma ovviamente \(\displaystyle z1 \)mi viene sempre diverso da \(\displaystyle z2 \) , quindi è iniettiva? perchè ad ogni immagine di z corrisponde una e una sola immagine di \(\displaystyle z2 \)
1. Per rispondere alla domanda con cui replicavi al mio intervento il 19: dipende da cosa intendi per regola.
Se per regola intendi una norma universale la cui applicazione meccanica ti permetta di stabilire se una certa applicazione è o meno iniettiva/suriettiva/biettiva [nota]Come e.g. i criteri di divisibilità: un numero è divisibile per \( 2 \) se termina con una cifra pari, è divisibile per \( 3 \) se la somma delle sue cifre è un multiplo di \( 3 \) ecc.[/nota], allora la risposta è no: non mi risulta.
Ci sono però dei criteri generalmente validi per stabilire se un'applicazione è iniettiva.
Il primo è quello che discende direttamente dalla definizione di applicazione iniettiva: per definizione, un'applicazione \( f \colon S \to T \) è iniettiva se e solo se essendo \( x_{1} \neq x_{2} \) risulta \( f(x_{1}) \neq f(x_{2}) \) per ogni \( x_{1}, x_{2} \in S \), i.e. se vale \( \forall x_{1}, x_{2} \in S, x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2}) \), che è logicamente equivalente[nota]Attenzione a come cambiano i \( \neq \) in \( = \) e a come cambia l'ordine tra le \( x_{1}, x_{2} \) e le rispettive immagini![/nota] alla condizione \( \forall x_{1}, x_{2} \in S, f(x_{1})=f(x_{2}) \implies x_{1}=x_{2} \), sicché data un certa applicazione, si pone l'uguaglianza \( f(x_{1})=f(x_{2}) \) e la si tratta come un'equazione in \( x_{1} \) (o in \( x_{2} \)) e risolvendola si verifica se è \( x_{1}=x_{2} \).
Un altro criterio discende dalla caratterizzazione delle applicazioni iniettive (risp. suriettive) per mezzo delle fibre dei sottoinsiemi di \( T \): si dimostra infatti che un'applicazione \( f \colon S \to T \) è iniettiva (risp. suriettiva) se e solo se \( f^{\leftarrow}(f(X))=X \) (risp. \( f(f^{\leftarrow}(Y))=Y \)) per ogni \( X \subseteq S \) (risp. per ogni \( Y \subseteq T \)). Dove \( f^{\leftarrow} ( \cdot ) \) indica per l'appunto la fibra. Ergo data una certa applicazione, se riesci a provare che per essa vale una cosa del genere, hai provato che l'applicazione è iniettiva (risp. suriettiva).
Un altro criterio ancora discende dalla caratterizzazione dell'iniettività (risp. della suriettività) per mezzo della composizione di applicazioni: si dimostra che un'applicazione \( f \colon S \to T \) è iniettiva (risp. suriettiva) se e solo se esiste un'applicazione \(g \colon T \to S \) tale che \( g \circ f = \iota_{S} \) (risp. tale che \( f \circ g = \iota_{T} \)), ove \( \iota_{S} \) è l'identità su \(S\) (risp. \(\iota_{T}\) è l'identità su \(T\)). L'applicazione \(g\) si chiama allora inversa sinistra (risp. inversa destra) di \(f\). Ergo data una certa applicazione, se riesci a provare per essa l'esistenza di una inversa sinistra (risp. destra), allora hai provato che l'applicazione è iniettiva (risp. suriettiva).
È palese che di questi tre metodi il primo è da preferirsi quando hai un'applicazione la cui assegnazione sia definita da un'equazione mentre gli altri due sono da utilizzare quando lavori in astratto con le applicazioni senza avere un'assegnazione definita tramite un'equazione. Il che risponde alla domanda che hai posto oggi, i.e....
2. Non è che devi porre \( z_{1} = \text{un certo numero} \) e \( z_{2} = \text{un altro numero} \) e verificare che \(f(x_{1})\) risulti diverso da \(f(x_{2})\). Non perché sia sbagliato in sé il passaggio ma perché siccome il dominio è un insieme infinito, per rendere valido il passaggio, dovresti iterarlo all'infinito, cosa ovviamente impossibile procedendo un termine alla volta! Come ho detto sopra, imponi che sia \(f(z_{1})=f(z_{2})\) ottenendo l'equazione \(2z_{1}+1=2z_{2}+1\), quindi risolvi rispetto a \(z_{1}\): se ottieni \(z_{1}=z_{2}\) l'applicazione è iniettiva, altrimenti non lo è.
3. Nota tecnica: per scrivere i pedici devi usare l'underscore: e.g. z_{1} restituisce \( z_{1} \).
Se per regola intendi una norma universale la cui applicazione meccanica ti permetta di stabilire se una certa applicazione è o meno iniettiva/suriettiva/biettiva [nota]Come e.g. i criteri di divisibilità: un numero è divisibile per \( 2 \) se termina con una cifra pari, è divisibile per \( 3 \) se la somma delle sue cifre è un multiplo di \( 3 \) ecc.[/nota], allora la risposta è no: non mi risulta.
Ci sono però dei criteri generalmente validi per stabilire se un'applicazione è iniettiva.
Il primo è quello che discende direttamente dalla definizione di applicazione iniettiva: per definizione, un'applicazione \( f \colon S \to T \) è iniettiva se e solo se essendo \( x_{1} \neq x_{2} \) risulta \( f(x_{1}) \neq f(x_{2}) \) per ogni \( x_{1}, x_{2} \in S \), i.e. se vale \( \forall x_{1}, x_{2} \in S, x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2}) \), che è logicamente equivalente[nota]Attenzione a come cambiano i \( \neq \) in \( = \) e a come cambia l'ordine tra le \( x_{1}, x_{2} \) e le rispettive immagini![/nota] alla condizione \( \forall x_{1}, x_{2} \in S, f(x_{1})=f(x_{2}) \implies x_{1}=x_{2} \), sicché data un certa applicazione, si pone l'uguaglianza \( f(x_{1})=f(x_{2}) \) e la si tratta come un'equazione in \( x_{1} \) (o in \( x_{2} \)) e risolvendola si verifica se è \( x_{1}=x_{2} \).
Un altro criterio discende dalla caratterizzazione delle applicazioni iniettive (risp. suriettive) per mezzo delle fibre dei sottoinsiemi di \( T \): si dimostra infatti che un'applicazione \( f \colon S \to T \) è iniettiva (risp. suriettiva) se e solo se \( f^{\leftarrow}(f(X))=X \) (risp. \( f(f^{\leftarrow}(Y))=Y \)) per ogni \( X \subseteq S \) (risp. per ogni \( Y \subseteq T \)). Dove \( f^{\leftarrow} ( \cdot ) \) indica per l'appunto la fibra. Ergo data una certa applicazione, se riesci a provare che per essa vale una cosa del genere, hai provato che l'applicazione è iniettiva (risp. suriettiva).
Un altro criterio ancora discende dalla caratterizzazione dell'iniettività (risp. della suriettività) per mezzo della composizione di applicazioni: si dimostra che un'applicazione \( f \colon S \to T \) è iniettiva (risp. suriettiva) se e solo se esiste un'applicazione \(g \colon T \to S \) tale che \( g \circ f = \iota_{S} \) (risp. tale che \( f \circ g = \iota_{T} \)), ove \( \iota_{S} \) è l'identità su \(S\) (risp. \(\iota_{T}\) è l'identità su \(T\)). L'applicazione \(g\) si chiama allora inversa sinistra (risp. inversa destra) di \(f\). Ergo data una certa applicazione, se riesci a provare per essa l'esistenza di una inversa sinistra (risp. destra), allora hai provato che l'applicazione è iniettiva (risp. suriettiva).
È palese che di questi tre metodi il primo è da preferirsi quando hai un'applicazione la cui assegnazione sia definita da un'equazione mentre gli altri due sono da utilizzare quando lavori in astratto con le applicazioni senza avere un'assegnazione definita tramite un'equazione. Il che risponde alla domanda che hai posto oggi, i.e....
2. Non è che devi porre \( z_{1} = \text{un certo numero} \) e \( z_{2} = \text{un altro numero} \) e verificare che \(f(x_{1})\) risulti diverso da \(f(x_{2})\). Non perché sia sbagliato in sé il passaggio ma perché siccome il dominio è un insieme infinito, per rendere valido il passaggio, dovresti iterarlo all'infinito, cosa ovviamente impossibile procedendo un termine alla volta! Come ho detto sopra, imponi che sia \(f(z_{1})=f(z_{2})\) ottenendo l'equazione \(2z_{1}+1=2z_{2}+1\), quindi risolvi rispetto a \(z_{1}\): se ottieni \(z_{1}=z_{2}\) l'applicazione è iniettiva, altrimenti non lo è.
3. Nota tecnica: per scrivere i pedici devi usare l'underscore: e.g. z_{1} restituisce \( z_{1} \).
"G.D.":
1. Per rispondere alla domanda con cui replicavi al mio intervento il 19: dipende da cosa intendi per regola.
Se per regola intendi una norma universale la cui applicazione meccanica ti permetta di stabilire se una certa applicazione è o meno iniettiva/suriettiva/biettiva [nota]Come e.g. i criteri di divisibilità: un numero è divisibile per \( 2 \) se termina con una cifra pari, è divisibile per \( 3 \) se la somma delle sue cifre è un multiplo di \( 3 \) ecc.[/nota], allora la risposta è no: non mi risulta.
Ci sono però dei criteri generalmente validi per stabilire se un'applicazione è iniettiva.
Il primo è quello che discende direttamente dalla definizione di applicazione iniettiva: per definizione, un'applicazione \( f \colon S \to T \) è iniettiva se e solo se essendo \( x_{1} \neq x_{2} \) risulta \( f(x_{1}) \neq f(x_{2}) \) per ogni \( x_{1}, x_{2} \in S \), i.e. se vale \( \forall x_{1}, x_{2} \in S, x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2}) \), che è logicamente equivalente[nota]Attenzione a come cambiano i \( \neq \) in \( = \) e a come cambia l'ordine tra le \( x_{1}, x_{2} \) e le rispettive immagini![/nota] alla condizione \( \forall x_{1}, x_{2} \in S, f(x_{1})=f(x_{2}) \implies x_{1}=x_{2} \), sicché data un certa applicazione, si pone l'uguaglianza \( f(x_{1})=f(x_{2}) \) e la si tratta come un'equazione in \( x_{1} \) (o in \( x_{2} \)) e risolvendola si verifica se è \( x_{1}=x_{2} \).
Un altro criterio discende dalla caratterizzazione delle applicazioni iniettive (risp. suriettive) per mezzo delle fibre dei sottoinsiemi di \( T \): si dimostra infatti che un'applicazione \( f \colon S \to T \) è iniettiva (risp. suriettiva) se e solo se \( f^{\leftarrow}(f(X))=X \) (risp. \( f(f^{\leftarrow}(Y))=Y \)) per ogni \( X \subseteq S \) (risp. per ogni \( Y \subseteq T \)). Dove \( f^{\leftarrow} ( \cdot ) \) indica per l'appunto la fibra. Ergo data una certa applicazione, se riesci a provare che per essa vale una cosa del genere, hai provato che l'applicazione è iniettiva (risp. suriettiva).
Un altro criterio ancora discende dalla caratterizzazione dell'iniettività (risp. della suriettività) per mezzo della composizione di applicazioni: si dimostra che un'applicazione \( f \colon S \to T \) è iniettiva (risp. suriettiva) se e solo se esiste un'applicazione \(g \colon T \to S \) tale che \( g \circ f = \iota_{S} \) (risp. tale che \( f \circ g = \iota_{T} \)), ove \( \iota_{S} \) è l'identità su \(S\) (risp. \(\iota_{T}\) è l'identità su \(T\)). L'applicazione \(g\) si chiama allora inversa sinistra (risp. inversa destra) di \(f\). Ergo data una certa applicazione, se riesci a provare per essa l'esistenza di una inversa sinistra (risp. destra), allora hai provato che l'applicazione è iniettiva (risp. suriettiva).
È palese che di questi tre metodi il primo è da preferirsi quando hai un'applicazione la cui assegnazione sia definita da un'equazione mentre gli altri due sono da utilizzare quando lavori in astratto con le applicazioni senza avere un'assegnazione definita tramite un'equazione. Il che risponde alla domanda che hai posto oggi, i.e....
2. Non è che devi porre \( z_{1} = \text{un certo numero} \) e \( z_{2} = \text{un altro numero} \) e verificare che \(f(x_{1})\) risulti diverso da \(f(x_{2})\). Non perché sia sbagliato in sé il passaggio ma perché siccome il dominio è un insieme infinito, per rendere valido il passaggio, dovresti iterarlo all'infinito, cosa ovviamente impossibile procedendo un termine alla volta! Come ho detto sopra, imponi che sia \(f(z_{1})=f(z_{2})\) ottenendo l'equazione \(2z_{1}+1=2z_{2}+1\), quindi risolvi rispetto a \(z_{1}\): se ottieni \(z_{1}=z_{2}\) l'applicazione è iniettiva, altrimenti non lo è.
3. Nota tecnica: per scrivere i pedici devi usare l'underscore: e.g. z_{1} restituisce \( z_{1} \).
grazie per la risposta esaustiva.
Ho fatto tutti i vari calcoli e alla fine ottengo \(\displaystyle z_{1} = z_{2} \) , quindi è iniettiva.
Per quanto riguarda invece la suriettività? come faccio ad impostarla?
Vale lo stesso discorso fatto a proposito dell'iniettività.
In generale hai vari criteri per stabilire se un'applicazione è suriettiva o no, quali la definizione di applicazione suriettiva e i criteri di cui ho precedentemente fatto menzione. Nella pratica quello realmente utile è quello derivante dalla definizione: un'applicazione \( f \colon S \to T \) è suriettiva se e solo se, per definizione, \( \text{Im}(f) = T \). Questo cosa significa? Significa che per ogni \( y \in T \) esiste almeno un \( x \in S \) tale che \( f(x) = y \). Avendo allora un'applicazione la cui assegnazione è data da un'equazione, la cosa più semplice da fare è usare la variabile che denota l'elemento del dominio come incognita e usare quella che denota l'elemento del codominio come parametro, in altri termini prendere \( f(x) = y \) e risolvere rispetto a \( x \).
Così data la tua \( f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \), dove il dominio è \( \mathbb{Z} \) ed anche il codominio è \( \mathbb{Z} \), essendo \( f(z) = 2z+1 \), si pone \( y = 2z+1 \) (dove \( z \) sta nel dominio e \( y \) nel codominio) e si risolve rispetto a \( z \), ottenendo \( z = \text{qualche cosa che contiene la } y \) ma siccome \( y \) deve essere un elemento di \( \mathbb{Z} \) la domanda è: in \( \text{qualche cosa che contiene la } y \) tutte le \( y \) di \( Z \) sono utilizzabili o ne devi escludere qualcuna? Se sono tutte utilizzabili, allora l'applicazione è suriettiva, se qualcuna non è buona per far di conto al fine di ottenere \( z \), allora l'applicazione non è suriettiva.
In generale hai vari criteri per stabilire se un'applicazione è suriettiva o no, quali la definizione di applicazione suriettiva e i criteri di cui ho precedentemente fatto menzione. Nella pratica quello realmente utile è quello derivante dalla definizione: un'applicazione \( f \colon S \to T \) è suriettiva se e solo se, per definizione, \( \text{Im}(f) = T \). Questo cosa significa? Significa che per ogni \( y \in T \) esiste almeno un \( x \in S \) tale che \( f(x) = y \). Avendo allora un'applicazione la cui assegnazione è data da un'equazione, la cosa più semplice da fare è usare la variabile che denota l'elemento del dominio come incognita e usare quella che denota l'elemento del codominio come parametro, in altri termini prendere \( f(x) = y \) e risolvere rispetto a \( x \).
Così data la tua \( f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \), dove il dominio è \( \mathbb{Z} \) ed anche il codominio è \( \mathbb{Z} \), essendo \( f(z) = 2z+1 \), si pone \( y = 2z+1 \) (dove \( z \) sta nel dominio e \( y \) nel codominio) e si risolve rispetto a \( z \), ottenendo \( z = \text{qualche cosa che contiene la } y \) ma siccome \( y \) deve essere un elemento di \( \mathbb{Z} \) la domanda è: in \( \text{qualche cosa che contiene la } y \) tutte le \( y \) di \( Z \) sono utilizzabili o ne devi escludere qualcuna? Se sono tutte utilizzabili, allora l'applicazione è suriettiva, se qualcuna non è buona per far di conto al fine di ottenere \( z \), allora l'applicazione non è suriettiva.
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