Iniettività dell'applicazione composta
Salve, ho un dubbio su un teoremino di algebra.
Siano $f$ e $g$ due omomorfismi. $f$ và da $U$ -> $V$ (dominio e codominio) mentre $g$ va da $V$ -> $W$.
Consideriamo l'applicazione lineare composta $g @ f$. Nel libro di testo è scritto e dimostrato che:
e fin qui ci sono, ma questo non ci dice niente sulla iniettività di $g$, cosa che viene specificata anche più avanti nel testo. Quindi, secondo il testo, sapendo che $g @ f$ è iniettiva, $g$ potrebbe come non potrebbe essere iniettiva ($f$ lo è per forza).
Io non ho capito come fa $g$ a NON essere iniettiva. Cioè per me deve esserlo per forza. Mi spiego meglio. Sia $g @ f$ iniettiva, sia $f$ iniettiva e sia $g$ NON iniettiva. Si consideri $a$, $b in U$ e sia $a != b$. Calcoliamo $(g @ f)(a)$ e $(g @ f)(b)$
1) $(g @ f)(a) = g(f(a)) = g(a')$ posto $f(a) = a'$
2) $(g @ f)(b) = g(f(b)) = g(b')$ posto $f(b) = b'$
Per l'iniettività di $f$ e per la condizione $a != b$, deve essere $a' != b'$. Ora $g$ NON è iniettiva, tanto è vero che i particolari valori $a'$ e $b'$ che fanno parte del suo dominio ($V$) hanno la stessa immagine $c$. Quindi
1) $g(a') = c$
2) $g(b') = c$
Ma allora $(g @ f)$ non è iniettiva, perchè siamo partiti da valori distinti e abbiamo ottenuto la stessa immagine, no? Cos'è che non quadra nel mio ragionamento?
Siano $f$ e $g$ due omomorfismi. $f$ và da $U$ -> $V$ (dominio e codominio) mentre $g$ va da $V$ -> $W$.
Consideriamo l'applicazione lineare composta $g @ f$. Nel libro di testo è scritto e dimostrato che:
"Dulio Paolo":
"Se $g @ f$ è iniettiva, allora $f$ è iniettiva"
e fin qui ci sono, ma questo non ci dice niente sulla iniettività di $g$, cosa che viene specificata anche più avanti nel testo. Quindi, secondo il testo, sapendo che $g @ f$ è iniettiva, $g$ potrebbe come non potrebbe essere iniettiva ($f$ lo è per forza).
Io non ho capito come fa $g$ a NON essere iniettiva. Cioè per me deve esserlo per forza. Mi spiego meglio. Sia $g @ f$ iniettiva, sia $f$ iniettiva e sia $g$ NON iniettiva. Si consideri $a$, $b in U$ e sia $a != b$. Calcoliamo $(g @ f)(a)$ e $(g @ f)(b)$
1) $(g @ f)(a) = g(f(a)) = g(a')$ posto $f(a) = a'$
2) $(g @ f)(b) = g(f(b)) = g(b')$ posto $f(b) = b'$
Per l'iniettività di $f$ e per la condizione $a != b$, deve essere $a' != b'$. Ora $g$ NON è iniettiva, tanto è vero che i particolari valori $a'$ e $b'$ che fanno parte del suo dominio ($V$) hanno la stessa immagine $c$. Quindi
1) $g(a') = c$
2) $g(b') = c$
Ma allora $(g @ f)$ non è iniettiva, perchè siamo partiti da valori distinti e abbiamo ottenuto la stessa immagine, no? Cos'è che non quadra nel mio ragionamento?
Risposte
Sbagli quando dici "tanto è vero che ...". Per far le cose per bene dovresti partire da due valori $a'$ e $b'$ distinti tali per cui $g(a')=g(b')$. Ma ora sei ne guai perché non è detto che $a'=f(a)$ per un certo $a$...
[mod="Martino"]Sposto in algebra. Attenzione alla sezione, grazie.[/mod]
Considera [tex]f:\{0\} \to \mathbb{R}[/tex], [tex]g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] definite da [tex]f(0) = 0[/tex] e [tex]g(x) := 0[/tex]. Allora [tex]g \circ f : \{0\} \to \mathbb{R}[/tex], [tex]x \mapsto 0[/tex] è iniettiva.
Oppure prendi [tex]f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] definite da [tex]f(x):=\arctan(x)[/tex] e [tex]g(x):=\sin(x)[/tex]. Allora [tex]g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex], [tex]x \mapsto \sin(\arctan(x))[/tex] è iniettiva.
Considera [tex]f:\{0\} \to \mathbb{R}[/tex], [tex]g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] definite da [tex]f(0) = 0[/tex] e [tex]g(x) := 0[/tex]. Allora [tex]g \circ f : \{0\} \to \mathbb{R}[/tex], [tex]x \mapsto 0[/tex] è iniettiva.
Oppure prendi [tex]f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] definite da [tex]f(x):=\arctan(x)[/tex] e [tex]g(x):=\sin(x)[/tex]. Allora [tex]g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex], [tex]x \mapsto \sin(\arctan(x))[/tex] è iniettiva.
Quindi $g$ può non essere iniettiva in tutto il suo dominio, ma deve essere iniettiva nell'immagine di $f$. Inoltre se per ipotesi $f$ è anche suriettiva allora $g$ deve essere iniettiva in tutto il suo dominio (che coincide con il codominio di $f$ altrimenti non si potrebbe neanche definire la funzione composta e con l'immagine di $f$ per la sua suriettività).
Quindi l'unica possibilità che ha $g$ di non essere iniettiva è che l'immagine di $f$ contiene tutti gli elementi del suo codominio rispetto ai quali $g$ "restituisce" lo stesso valore soltanto una volta. Tutto giusto?
Quindi l'unica possibilità che ha $g$ di non essere iniettiva è che l'immagine di $f$ contiene tutti gli elementi del suo codominio rispetto ai quali $g$ "restituisce" lo stesso valore soltanto una volta. Tutto giusto?
Giusto, ma e' detto in modo un po' contorto 
Date due funzioni [tex]f:A \to B[/tex], [tex]g:B \to C[/tex], si ha che [tex]g \circ f : A \to C[/tex] e' iniettiva se e solo se entrambe le due seguenti condizioni sono soddisfatte:
1) [tex]f[/tex] e' iniettiva;
2) la restrizione [tex]g|_{f(A)}[/tex] di [tex]g[/tex] all'immagine di [tex]f[/tex], cioe' la funzione [tex]f(A) \to C[/tex] che manda [tex]b[/tex] in [tex]g(b)[/tex], e' iniettiva.
Questa cosa che dici e' un po' oscura: ti ricordo che una funzione e' il dato di una terna [tex](A,B,f)[/tex]: il dominio [tex]A[/tex], il codominio [tex]B[/tex] e un sottoinsieme [tex]f[/tex] del prodotto cartesiano [tex]A \times B[/tex] che soddisfa determinate proprieta'. Quindi dominio e codominio sono parti integranti della funzione.
In altre parole, se ti dicono: "consideriamo la funzione [tex]f(x)=3x[/tex]" sbagliano, perche' non specificano dominio e codominio. Le due funzioni [tex]\mathbb{N} \to \mathbb{R}[/tex], [tex]x \mapsto 3x[/tex] e [tex]\mathbb{N} \to \mathbb{N}[/tex], [tex]x \mapsto 3x[/tex] sono funzioni diverse.
Mi scuso se ti ho detto cose che gia' sapevi. Ciao.
Date due funzioni [tex]f:A \to B[/tex], [tex]g:B \to C[/tex], si ha che [tex]g \circ f : A \to C[/tex] e' iniettiva se e solo se entrambe le due seguenti condizioni sono soddisfatte:
1) [tex]f[/tex] e' iniettiva;
2) la restrizione [tex]g|_{f(A)}[/tex] di [tex]g[/tex] all'immagine di [tex]f[/tex], cioe' la funzione [tex]f(A) \to C[/tex] che manda [tex]b[/tex] in [tex]g(b)[/tex], e' iniettiva.
Questa cosa che dici e' un po' oscura:
se per ipotesi $f$ è anche suriettiva allora $g$ deve essere iniettiva in tutto il suo dominio (che coincide con il codominio di $f$ altrimenti non si potrebbe neanche definire la funzione composta e con l'immagine di per la sua suriettività).Dove puo' essere iniettiva una funzione se non nel suo dominio?
ti ricordo che una funzione e' il dato di una terna [tex](A,B,f)[/tex]: il dominio [tex]A[/tex], il codominio [tex]B[/tex] e un sottoinsieme [tex]f[/tex] del prodotto cartesiano [tex]A \times B[/tex] che soddisfa determinate proprieta'. Quindi dominio e codominio sono parti integranti della funzione.In altre parole, se ti dicono: "consideriamo la funzione [tex]f(x)=3x[/tex]" sbagliano, perche' non specificano dominio e codominio. Le due funzioni [tex]\mathbb{N} \to \mathbb{R}[/tex], [tex]x \mapsto 3x[/tex] e [tex]\mathbb{N} \to \mathbb{N}[/tex], [tex]x \mapsto 3x[/tex] sono funzioni diverse.
Mi scuso se ti ho detto cose che gia' sapevi. Ciao.
"Martino":
Giusto, ma e' detto in modo un po' contorto
Date due funzioni [tex]f:A \to B[/tex], [tex]g:B \to C[/tex], si ha che [tex]g \circ f : A \to C[/tex] e' iniettiva se e solo se entrambe le due seguenti condizioni sono soddisfatte:
1) [tex]f[/tex] e' iniettiva;
2) la restrizione [tex]g|_{f(A)}[/tex] di [tex]g[/tex] all'immagine di [tex]f[/tex], cioe' la funzione [tex]f(A) \to C[/tex] che manda [tex]b[/tex] in [tex]g(b)[/tex], e' iniettiva.
Grazie, non conoscevo il concetto di restrizione di una funzione, per questo cercavo di esprimerlo a parole
Dove puo' essere iniettiva una funzione se non nel suo dominio?
Questa cosa che dici e' un po' oscura: [quote]se per ipotesi $f$ è anche suriettiva allora $g$ deve essere iniettiva in tutto il suo dominio (che coincide con il codominio di $f$ altrimenti non si potrebbe neanche definire la funzione composta e con l'immagine di per la sua suriettività).
ti ricordo che una funzione e' il dato di una terna [tex](A,B,f)[/tex]: il dominio [tex]A[/tex], il codominio [tex]B[/tex] e un sottoinsieme [tex]f[/tex] del prodotto cartesiano [tex]A \times B[/tex] che soddisfa determinate proprieta'. Quindi dominio e codominio sono parti integranti della funzione.In altre parole, se ti dicono: "consideriamo la funzione [tex]f(x)=3x[/tex]" sbagliano, perche' non specificano dominio e codominio. Le due funzioni [tex]\mathbb{N} \to \mathbb{R}[/tex], [tex]x \mapsto 3x[/tex] e [tex]\mathbb{N} \to \mathbb{N}[/tex], [tex]x \mapsto 3x[/tex] sono funzioni diverse.
[/quote]
Questa è un'altra cosa di cui non ne ho capito appieno le motivazioni. Cambiando il dominio è chiaro che le funzioni cambiano, non sono sicuro sulla restrizione del codominio.
Consideriamo le due funzioni che hai postato tu, scrivendo esplicitamente i sottoinsiemi del prodotto cartesiano [tex]f \subset \mathbb{N} \times \mathbb{R}[/tex] per la prima e [tex]f' \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}[/tex] per la seconda, [tex]f[/tex] ed [tex]f'[/tex] contengono gli stessi elementi.
Non posso scrivere i due insiemi $f$ ed $f'$ esplicitamente perchè sono infiniti, però posso dire che il prodotto fra numeri naturali è un numero naturale, ovvero [tex]f[/tex] è in realtà [tex]\subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}[/tex].In questo modo i due insiemi $f$ ed $f'$ diventano confrontabili (costituiti entrambi da coppie di numeri naturali), e siccome le due funzioni hanno la stessa espressione e stesso dominio, i due insiemi sono costituiti dagli stessi elementi, le stesse coppie di numeri naturali.
Oppure posso fare il contrario, cioè se [tex]f' \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}[/tex] , siccome [tex]\mathbb{N} \subset \mathbb{R}[/tex] allora deve essere [tex]f' \subset \mathbb{N} \times \mathbb{R}[/tex]
Quindi la distinzione è puramente astratta? Cioè siccome i due codomini sono diversi, le due funzioni sono diverse, perchè lo sono le due terne che le rappresentano, punto e basta? (magari è semplicemente così e sto diventando troppo filosofico io xD) O è in qualche modo legato a quel sottoinsieme del prodotto cartesiano? Cioè ci sono motivi pratici?
Scusa se siamo OT e avrei dovuto aprire un altro post, se necessario lo faccio.
Mi scuso se ti ho detto cose che gia' sapevi. Ciao.
Tu spiega, tranquillo. Se ci sono cose che già so fa niente. Comunque grazie delle spiegazioni
"raffamaiden":Puramente astratta.
Quindi la distinzione è puramente astratta? Cioè siccome i due codomini sono diversi, le due funzioni sono diverse, perchè lo sono le due terne che le rappresentano, punto e basta? (magari è semplicemente così e sto diventando troppo filosofico io xD) O è in qualche modo legato a quel sottoinsieme del prodotto cartesiano? Cioè ci sono motivi pratici?
Ci sono motivi pratici. Considera le funzioni (qui [tex][x][/tex] indica la parte intera di [tex]x[/tex]):
(a) [tex]\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[/tex], [tex]x \mapsto [x]+2[/tex]. E' iniettiva e suriettiva.
(b) [tex]\mathbb{Z} \to \mathbb{R}[/tex], [tex]x \mapsto [x]+2[/tex]. E' iniettiva e non suriettiva.
(c) [tex]\mathbb{R} \to \mathbb{Z}[/tex], [tex]x \mapsto [x]+2[/tex]. E' non iniettiva e suriettiva.
(d) [tex]\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex], [tex]x \mapsto [x]+2[/tex]. E' non iniettiva e non suriettiva.
Quindi abbiamo interesse a distinguere queste quattro funzioni, anche se in qualche modo possiamo identificare per tutte la stessa "legge".
Capito, ti ringrazio per le risposte
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