Infiniti polinomi irriducibili in $K[X]$

[Angus1956]

Sia $K$ un campo finito mostrare che esistono infiniti polinomi irriducibili monici in $K[X]$.
Io avevo pensato ai polinomi della forma $x^(2n)+x^(2n-1)+...+x^2+x+1$ per $AAninN$ che sono irriducibili in un campo finito. Ma non so se sia effettivamente corretto

[Martino]

Non è corretto perché quel polinomio è divisibile per $x-1$ se la caratteristica di $K$ divide $2n+1$.

Io proverei a imitare la dimostrazione di Euclide dell'infinità dei numeri primi.

[Angus1956]

"Martino":Io proverei a imitare la dimostrazione di Euclide dell'infinità dei numeri primi.

Quindi suppongo per assurdo che $p_1,...,p_n$ siano gli unici irriducibili e considero il polinomio $p_1p_2...p_n+1$ quindi se $p_1p_2...p_n+1$ fosse irriducibile avrei un assurdo, mentre se fosse riducibile dovrebbbe scriversi come prodotto di irriducibili che per ipotesi sono solo $p_1,...,p_n$ ma nessuno di questi divide il polinomio in questione, assurdo

[Angus1956]

"Martino":Non è corretto perché quel polinomio è divisibile per $x-1$ se la caratteristica di $K$ divide $2n+1$.

A perche tipo se sostituissi $1$ nel polinomio $x^(2n)+...+x+1$ otterei $2n+1$ ma poichè la caratterista è $2n+1$ allora sarebbe $0$ e quindi $1$ è radice del polinomio.

[j18eos]

Se non fossi divenuto completamente èbete, direi che hai risolto il quesìto!

...però attendi conferma!

[Martino]

Sì certo è giusto.