Induzione per disuguaglianza

[ThePA]

Ho un esercizio che questi giorni proprio non mi va giù:

per ogni $ n \geq 4 $ dimostrare che vale

$ 3^n > n^3 $

io ho svolto il caso base e sono arrivato al passo per l'induzione:

$ 3^(n+1) > (n+1)^3 $

dopo come devo fare? Ho provato in vari modi ma non riesco ad uscirne..

Grazie a chiunque voglia aiutarmi.

[_prime_number]

Vogliamo dimostrare che [tex]\displaystyle 3^n - \frac{(n+1)^3}{3}>0[/tex].
Se dimostriamo che per ogni $n\geq 4$ si ha
[tex]\displaystyle(\star)\frac{(n+1)^3}{3} < n^3[/tex]
avremo
[tex]\displaystyle 3^n - \frac{(n+1)^3}{3}>3^n-n^3>0[/tex]
dove l'ultimo passaggio è l'ipotesi induttiva.

Usiamo l'induzione per dimostrare [tex](\star)[/tex].
Per [tex]n=4[/tex] è vero.
Assumiamo l'ipotesi induttiva (che sviluppando i conti diviene [tex]-2n^3+3n^2+3n+1<0[/tex] ) e cerchiamo di provare che
[tex]\displaystyle (n+2)^3< 3(n+1)^3 \to (-2n^3+3n^2+3n+1) + (- 6n^2+n+4)<0[/tex]
L'equazione reale [tex]- 6x^2+x+4=0[/tex] ha soluzioni minori di [tex]4[/tex], per cui [tex](- 6n^2+n+4)<0, \forall n\geq 0[/tex]. Essendo dunque
[tex](-2n^3+3n^2+3n+1) + (- 6n^2+n+4)[/tex]
somma di due numeri negativi, anch'esso è negativo e questo conclude la prova.

Paola

[Studente Anonimo]

[mod="Martino"]Sposto in algebra. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/mod]