Induzione matematica...

[maurer]

Probabilmente è una domanda stupida. Su Wikipedia ho trovato questo enunciato per il principio della discesa infinita: "sia ${a_n} \subseteq NN$ una successione debolmente crescente. Allora è definitivamente costante."
Ora, questa affermazione è secondo palesemente falsa: basta considerare la successione $1 1 2 2 3 3...$ che è largamente crescente ed illimitata.
Oppure, basta anche $a_n=n$. In ogni caso, no è che anche secondo voi all'enunciato va aggiunta l'ipotesi $a_n$ superiormente limitata???
Oppure che la successione sia decrescente...

[dissonance]

"maurer":
Oppure, basta anche $a_n=n$. In ogni caso, no è che anche secondo voi all'enunciato va aggiunta l'ipotesi $a_n$ superiormente limitata???

E si, per forza. "Debolmente crescente" che significa? Se intendi dire, come credo, crescente non (necessariamente) in senso stretto, allora è chiaramente così. Per dimostrarlo io direi (a grandi linee): la successione è limitata superiormente, quindi il suo sup è anche il suo limite. Scegliendo $epsilon=1/2$ nella definizione di limite si vede che la successione è definitivamente costante, uguale al sup. Questa è una dimostrazione di tipo analitico, volendo se ne possono trovare di altra natura.

[maurer]

Grazie dissonance. Sì, "debomente crescente" credo proprio che significhi crescente non in senso stretto. La proposizione riportata su Wikipedia è palesemente sbagliata...