Induzione: Definizione corretta
Salve a tutti,
mi sto prearando per l'esame di Matematica discreta e voglio vedere se so "realmente spiegare" con termini corretti l'induzione. Ovvero, scusate il gioco di parole, non devo dimostrare "il teorema su cui si basa", ma semplicemente riuscire a spiegare come funziona.
Dunque io direi che:
"L'induzione è una tipologia di dimostrazione che ci permette di dimostrare vera una determinata proposizione $P$ calcolata in $n$, ove $n$ è una variabile appartenente all'insieme $NN$. Sostanzialmente si divide in due passi:
Il primo passo, o passo basse, dice di dimostrare $P(n)$ calcolato nella più piccola $n$ che la nostra proposizione accetta, andando a verificare quindi la base dell'induzione, ovvero il primo numero della sequenza che la nostra proposizione andrà a definire;
Il secondo passo, o passo induttivo, dice che, trovato vero il passo base, dobbiamo andare a trovare vera l'implicazione che: la proposizione $P$ calcolata in $n$ se supposta vera, implichi vera anche $P$ calcolata in $n+1$ ovvero calcolata nell'enne successivo.
In conclusione la dimostrazione per induzione possiamo dire che dimostra vera una proposizione trovandola verà per il il primo numero della successione, e dicendo che se calcolata in ogni elemento $n$ tale proposizione implica anche vero il suo successivo allora la nostra proposizione $P$ è verà per ogni $n$ maggiore o uguale del passo base".
Io la direi così, dite che è "giusta" ma che "potrei dirla meglio", nel caso come, oppure l'ho detta veramente male?
Purtroppo credo "grossomodo" di sapere il concetto, ma saperlo applicare è diverso da saperlo "spiegare"
mi sto prearando per l'esame di Matematica discreta e voglio vedere se so "realmente spiegare" con termini corretti l'induzione. Ovvero, scusate il gioco di parole, non devo dimostrare "il teorema su cui si basa", ma semplicemente riuscire a spiegare come funziona.
Dunque io direi che:
"L'induzione è una tipologia di dimostrazione che ci permette di dimostrare vera una determinata proposizione $P$ calcolata in $n$, ove $n$ è una variabile appartenente all'insieme $NN$. Sostanzialmente si divide in due passi:
Il primo passo, o passo basse, dice di dimostrare $P(n)$ calcolato nella più piccola $n$ che la nostra proposizione accetta, andando a verificare quindi la base dell'induzione, ovvero il primo numero della sequenza che la nostra proposizione andrà a definire;
Il secondo passo, o passo induttivo, dice che, trovato vero il passo base, dobbiamo andare a trovare vera l'implicazione che: la proposizione $P$ calcolata in $n$ se supposta vera, implichi vera anche $P$ calcolata in $n+1$ ovvero calcolata nell'enne successivo.
In conclusione la dimostrazione per induzione possiamo dire che dimostra vera una proposizione trovandola verà per il il primo numero della successione, e dicendo che se calcolata in ogni elemento $n$ tale proposizione implica anche vero il suo successivo allora la nostra proposizione $P$ è verà per ogni $n$ maggiore o uguale del passo base".
Io la direi così, dite che è "giusta" ma che "potrei dirla meglio", nel caso come, oppure l'ho detta veramente male?
Purtroppo credo "grossomodo" di sapere il concetto, ma saperlo applicare è diverso da saperlo "spiegare"
Risposte
Io lo direi così:
Più che calcolata in $n$ direi che dipende da un parametro $n$ appartenente ai numeri naturali. E' una dimostrazione di 2 fasi:
1) Viene dimostrato che la preposizione è vera per il più piccolo $n$ accettabile (generalmente $0$ o $1$). Si può sempre riscrivere la preposizione per far partire il parametro da $1$ o da $0$.
2) Il secondo passo, che come hai detto tu si chiama passo induttivo, consiste nel presumere che la preposizione sia vera per un qualche $m$ e quindi dimostrare che questo implica che sia vera anche per $m+1$.
Per gli assiomi di peano è quindi vera per tutti i numeri naturali (maggiori di quello analizzato).
Più che calcolata in $n$ direi che dipende da un parametro $n$ appartenente ai numeri naturali. E' una dimostrazione di 2 fasi:
1) Viene dimostrato che la preposizione è vera per il più piccolo $n$ accettabile (generalmente $0$ o $1$). Si può sempre riscrivere la preposizione per far partire il parametro da $1$ o da $0$.
2) Il secondo passo, che come hai detto tu si chiama passo induttivo, consiste nel presumere che la preposizione sia vera per un qualche $m$ e quindi dimostrare che questo implica che sia vera anche per $m+1$.
Per gli assiomi di peano è quindi vera per tutti i numeri naturali (maggiori di quello analizzato).
Dubbio, ma se la proposizione la chiamiamo $p(n)$ se parliamo appunto del più piccolo $n$ accettabile. Percè poi parliamo di $m$ e di $m+1$ ?
Vedo che questa distinzione la fanno anche sul libro, è una questione di forma, ha qualche significato piu nascosto, o cosa?
Vedo che questa distinzione la fanno anche sul libro, è una questione di forma, ha qualche significato piu nascosto, o cosa?
"Neptune":
Dubbio, ma se la proposizione la chiamiamo $p(n)$ se parliamo appunto del più piccolo $n$ accettabile. Percè poi parliamo di $m$ e di $m+1$ ?
Vedo che questa distinzione la fanno anche sul libro, è una questione di forma, ha qualche significato piu nascosto, o cosa?
Perché $n$ e $m$ hanno concettualmente significati diversi. Quindi è meglio non usare la stessa lettera.
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