Induzione

[emanuele.zinzeri]

Ho un problema con una b.a.n.a.l.i.s.s.i.m.a dimostrazione per induzione.
Posso sperare che qualcuno mi aiuti ?
Non mi viene:
1/2 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + n/2^n = 2 - ((n+2)/2^n)
Sarei gratissimo a colui che aiutandomi mi toglierà da questa empasse.
Saluti e grazie infinite comunque !

[alvinlee881]

Allora, il passo base è semplice, vedi subito che $1/2=2-3/2=1/2$. Per ipotesi induttiva, $sum_1^n (k/(2^k)) =(2^(n+1)-n-2)/2^n$, e dobbiamo dimostrare che se vale l'ipotesi induttiva, allora $sum_1^(n+1) (k/(2^k)) =(2^(n+2)-n-3)/(2^(n+1))$. Si ha che $sum_1^(n+1) (k/(2^k)) = sum_1^n (k/(2^k)) +(n+1)/(2^(n+1)) = (2^(n+1)-n-2)/(2^n) + (n+1)/(2^(n+1))$ e con un pò di conti arrivi a $=(2^(n+2)-n-3)/(2^(n+1))$, cioè la tesi.